数据结构——二叉树初阶

目录

2.二叉树概念及结构

1. 概念

2. 特殊的二叉树:

3. 二叉树的性质

4. 二叉树的存储结构

1. 顺序存储

2. 链式存储

二叉树的顺序结构及实现

1. 二叉树的顺序结构

2.二叉树链式结构的实现

1 前序、中序以及后序遍历

2.层序遍历

3. 节点个数以及高度等


2.二叉树概念及结构

1. 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:

  1. 或者为空
  2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

数据结构——二叉树初阶_第1张图片

从上图可以看出:

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

数据结构——二叉树初阶_第2张图片

2. 特殊的二叉树:

1. 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3. 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^( i - 1)个结点.
2. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h - 1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n , 度为2的分支结点个数为 m ,则有 n=m +1
4. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h= log₂( n + 1). (ps: 是log以2为底,n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:
1. 若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点
2. 若2i+1=n否则无左孩子
3. 若2i+2=n否则无右孩子

4. 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。 

数据结构——二叉树初阶_第3张图片

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。

数据结构——二叉树初阶_第4张图片

二叉树的顺序结构及实现

1. 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的,因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储,需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事,一个是数据结构,一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

关于堆的内容请转至:

数据结构——堆_theonly_Love的博客-CSDN博客

2.二叉树链式结构的实现

//二叉树结构体
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

1 前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构,最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则,依次对二叉树中的节点进行相应的操作,并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一,也是二叉树上进行其它运算的基础。

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

void PreOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("# ");
		return;
	}
	
	printf("%d ", root->data);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}


2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。

void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("# ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);
}


3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("# ");
		return;
	}

	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}

2.层序遍历

层序遍历:除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外,还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

数据结构——二叉树初阶_第5张图片

 进行层序遍历需要使用另一种数据结构——队列,来进行操作。首先把第一个节点(根节点)入队列,然后取队头元素,判断它的左右子节点是否为空,如不为空则入队列,循环此过程。直到队列为空。

关于队列的概念请转至:

数据结构——栈和队列_theonly_Love的博客-CSDN博客

typedef struct BinaryTreeNode* QueueDatatype;
typedef struct QueueNode
{
	QueueDatatype data;
	struct QueueNode* next;
}QueueNode;

typedef struct Queue
{
	QueueNode* head;
	QueueNode* tail;
}Queue;

void QueueInit(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	pq->head = pq->tail = NULL;
}

void QueuePush(Queue* pq, QueueDatatype x)
{
	assert(pq);
	QueueNode* newnode = (QueueNode*)malloc(sizeof(QueueNode));
	if (newnode == NULL)
	{
		perror("malloc");
		exit(-1);
	}
	newnode->data = x;
	newnode->next = NULL;
	if (pq->head == NULL)
	{
		pq->head = pq->tail = newnode;
	}
	else
	{
		pq->tail->next = newnode;
		pq->tail = newnode;

	}
}

QueueDatatype QueueFront(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	return pq->head->data;
}


bool QueueEmpty(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	return pq->head == NULL;
}

void QueuePop(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	assert(!QueueEmpty(pq));
	if (pq->head->next == NULL)
	{
		free(pq->head);
		pq->head = pq->tail = NULL;
	}
	else
	{
		QueueNode* next = pq->head->next;
		free(pq->head);
		pq->head = next;
	}
}

void QueueDestroy(Queue* pq)
{
	assert(pq);

	while (pq->head)
	{
		QueueNode* cur = pq->head->next;
		free(pq->head);
		pq->head = cur;
	}
	pq->head = pq->tail = NULL;
}

// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;

	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		printf("%d ", front->data);
		QueuePop(&q);

		if (front->left)
			QueuePush(&q, front->left);

		if (front->right)
			QueuePush(&q, front->right);

	}
	printf("\n");
	QueueDestroy(&q);
}

3. 节点个数以及高度等

 二叉树节点个数

int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}


 二叉树叶子节点个数

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
	{
		return 1;
	}

	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}


二叉树第k层节点个数

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}

	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}


 二叉树查找值为x的节点

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
	{
		return NULL;
	}

	if (root->data == x)
	{
		return root;
	}

	BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (ret1)
		return ret1;
	BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
	if (ret2)
		return ret2;

	return NULL;
}

二叉树深度

int TreeDepth(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	int ret1 = TreeDepth(root->left);
	int ret2 = TreeDepth(root->right);
	if (ret1 > ret2)
		return ret1 + 1;
	return ret2 + 1;
}

判断二叉树是否是完全二叉树

与层序遍历一样需采用队列结构

bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return true;

	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);

		if (front == NULL)
			break;

		QueuePush(&q, front->left);
		QueuePush(&q, front->right);
	}

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		if (front != NULL)
		{
			QueueDestroy(&q);
			return false;
		}
		QueuePop(&q);
	}

	QueueDestroy(&q);
	return true;
}

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