四元数Quaternion的基本运算

技术背景

在前面一篇文章中我们介绍了欧拉角死锁问题的一些产生背景,还有基于四元数的求解方案。四元数这个概念虽然重要,但是很少会在通识教育课程中涉及到,更多的是一些图形学或者是工程学当中才会进行讲解。本文主要是面向四元数,相比上一篇文章更加详细的介绍和总结一下四元数的一些运算法则,还有基于四元数的插值法。

基本运算

说到四元数,很多人可能会觉得有点陌生,但是如果说复数,很多人就都有学习过。我们一般用\(z=x+iy\)这样的形式去定义一个复数(Complex Number),其中\(x\)是实部,而\(y\)是虚部,\(i\)是虚数单位,并且有\(i^2=-1\)这样的特性。并且对于一个虚数而言,如果取自然指数(运算规则为:\(e^{i\theta}=cos\theta+i\ sin\theta\)),还能够得到一个很美的数学公式:\(e^{i\pi}=-1\),这就是非常著名的欧拉公式。

而四元数Quaternion这个概念的提出,更像是对复数的一个扩展,我们通常把四元数写成这样的形式:

\[q=s+ix+jy+kz \]

其中\(s,x,y,z\)都是实数,并满足这样的一些运算规则:

\[i^2=j^2=k^2=ijk=-1\\ i\times j=k,j\times k=i,k\times i=j\\ j\times i=-k,k\times j=-i,i\times k=-j \]

以上都是四元数的一些基本定义,接下来我们逐一看一下四元数的一些基本运算。

四元数加法

两个四元数的加法就是将“实部虚部”对应位置做元素求和:

\[q_1+q_2=(s_1+ix_1+jy_1+kz_1)+(s_2+ix_2+jy_2+kz_2)=(s_1+s_2)+i(x_1+x_2)+j(y_1+y_2)+k(z_1+z_2) \]

可以简单证明,四元数的加法满足交换律、结合律和分配律,这里不过多展开介绍。

四元数缩放

在系数缩放这一点上,四元数与复数是一致的:

\[\lambda q=\lambda s+i\lambda x+j\lambda y+k\lambda z \]

逐一对四元数中的各项元素进行缩放即可。

四元数乘法

四元数的乘法是所有元素之前都要运算一遍:

\[\begin{align*} q_1q_2&=(s_1+ix_1+jy_1+kz_1)*(s_2+ix_2+jy_2+kz_2)\\ &=(s_1s_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2)\\ &\ +i(s_1x_2+s_2x_1+y_1z_2-y_2z_1)\\ &\ +j(s_1y_2+s_2y_1+x_2z_1-x_1z_2)\\ &\ +k(s_1z_2+s_2z_1+x_1y_2-x_2y_1) \end{align*} \]

这个运算过程是这样的,我们令\(q=q_1q_2=s+ix+jy+kz\),那么这个乘法运算最终组成\(s\)这个元素的,分别是\(s_1*s_2, (ix_1)*(ix_2), (iy_1)*(iy_2), (iz_1)*(iz_2)\)这些项,而\(i^2=j^2=k^2=-1\),因此最终得到\(s=(s_1s_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2)\)。但是直到这里为止,我们所涉及到的元素乘法只是在“实部”和相同的“虚数单位”之间的运算,如果一旦涉及到不同的“虚数单位”之间的乘法运算,那就要自动转化成向量叉乘,比如\(ij=ji=k\)。因此,我们要计算\(q\)中的\(z\)项的时候,只需要计算\(s_1z_2, s_2z_1, x_1y_2, x_2y_1\)这些项即可,同时注意符号的变换,那么得到的最终的结果就是如上所示。

需要注意的是,四元数与复数的最大的一点不同,复数乘法是有交换律的,而四元数没有。举个例子说,我们可以计算一下\(q_1,q_2\)的对易:

\[\begin{align*} [q_1, q_2]&=q_1q_2-q_2q_1\\ &=(s_1s_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2)+i(s_1x_2+s_2x_1+y_1z_2-y_2z_1)+j(s_1y_2+s_2y_1+x_2z_1-x_1z_2)+k(s_1z_2+s_2z_1+x_1y_2-x_2y_1)-(s_2s_1-x_2x_1-y_2y_1-z_2z_1)-i(s_2x_1+s_1x_2+y_2z_1-y_1z_2)-j(s_2y_1+s_1y_2+x_1z_2-x_2z_1)-k(s_2z_1+s_1z_2+x_2y_1-x_1y_2)\\ &=2i(y_1z_2-y_2z_1)+2j(x_2z_1-x_1z_2)+2k(x_1y_2-x_2y_1) \end{align*} \]

那么也就是说,这两个四元数\(q_1,q_2\)之间是非对易的,也就是不可交换的。但是,四元数的运算是满足结合律和分配率的

由于上面的这种四元数乘法展开,写起来过于繁杂,我们考虑对其进行一定的简化。如果我们假定2个纯虚数(\(s=0\)):

\[a=ix_1+jy_1+kz_1\\ b=ix_2+jy_2+kz_2 \]

其实类似于这种形式的四元数,实际上就是三维空间中的向量,那么这两者的点积和叉积有:

\[a\cdot b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\\ a\times b=(y_1z_2-y_2z_1)i+(z_1x_2-z_2x_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k \]

需要注意的是,这里的叉积是向量叉积,跟四元数中的“虚数单位”相比,最大的一点不同就是:在向量叉积中,\(i\times i=0\),但是在四元数的乘法中,\(i\times i=-1\)(非常重要)。

那么在有了以上的两个公式之后,我们就可以对四元数的乘法表示做一个简化:

\[q_1q_2=s_1s_2-a\cdot b+s_ab+s_ba+a\times b \]

实四元数和纯四元数

对于一个实四元数而言,就是取\(x=y=z=0\)

\[q_r=s \]

对于一个纯四元数而言,就是取\(s=0\)

\[q_i=ix+jy+kz \]

四元数共轭

对四元数的所有“虚部”取负数,即是四元数的共轭:

\[q^*=s-ix-jy-kz \]

单位四元数

四元数的模的定义跟复数是一致的:

\[|q|=\sqrt{s^2+x^2+y^2+z^2}=\sqrt{qq*} \]

而单位四元数的定义即是模为1的四元数:

\[s^2+x^2+y^2+z^2=1 \]

如果给定的一个四元数不是单位四元数,那么我们可以对其进行规范化:

\[q'=\frac{q}{\sqrt{s^2+x^2+y^2+z^2}} \]

四元数的逆

对于一个单位四元数而言,因为有\(qq^*=1\),所以单位四元数的逆就是其共轭四元数。如果是对于更加一般的场景,我们可以这样考虑:

\[q(q^{-1}*|q|^2)=|q|^2\\ qq^*=|q|^2\\ q^{-1}=\frac{q^*}{|q|^2} \]

比较特殊地,对于单位四元数\(q^{-1}=q^*\)

四元数的二元表示

类似于复数的二元形式,通常一个四元数也可以被表示成如下的二元形式:

\[q=s+v\hat{q}=[s,v\hat{q}] \]

其中\(v=[x,y,z],\hat{q}=[i,j,k]\)。关于此处的乘法描述,其实有一定的不严谨性,因为它既不是点积,也不是叉积,也不是外积,而是普通的元素乘。这种元素乘的概念在计算机领域是很常用的,但是在数学上其实并不是很常用。在这种二元描述下,四元数的乘法形式会略有调整:

\[q_1q_2=[s_1s_2-(v_1\hat{q}_1)\cdot (v_2\hat{q}_2), s_1v_2\hat{q}_2+s_2v_1\hat{q}_1+(v_1\hat{q}_1)\times(v_2\hat{q}_2)] \]

四元数点积

上面的章节中提到过四元数的普通乘法,但其实四元数也像普通的向量一样可以进行点积运算:

\[q_1\cdot q_2=s_1s_2+v_1\cdot v_2 \]

这也是受益于四元数的二元表示,使得我们在书写结果的时候可以更加的简练。

四元数的指数

我们先来回顾一下复数\(z=x+iy\)的指数计算,根据泰勒展开公式\(f(x)=\sum_n\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\)(比较特殊地,\(e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\))对\(e^z\)\(y=0\)处的展开有:

\[\begin{align*} e^{z}&=e^{x+iy}=e^xe^{iy}\\ &=e^x\left( 1+iy-\frac{1}{2!}y^2-\frac{i}{3!}y^3+\frac{1}{4!}y^4+\frac{i}{5!}y^5-\frac{1}{6!}y^6-\frac{i}{7!}y^7+... \right) \end{align*} \]

对比一下常用的三角函数的泰勒展开式(相关证明见参考链接2):

\[sin\ x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+...\\ cos\ x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+... \]

代入可得:

\[e^{z}=e^xe^{iy} =e^x\left( cos\ y+i\ sin\ y \right) \]

也即,对于一个纯虚数\(i\theta\)而言,其指数为:\(e^{i\theta}=cos\theta+i\ sin\theta\)。那么类似的,对于一个二元表示的四元数\(q=s+v\hat{q}\)有:

\[\begin{align*} e^q&=e^{s+v\hat{q}}\\ &=e^s\left( 1+v\hat{q}-\frac{1}{2!}(v\hat{q})^2-\frac{1}{3!}(v\hat{q})^3+\frac{1}{4!}(v\hat{q})^4+\frac{1}{5!}(v\hat{q})^5-\frac{1}{6!}(v\hat{q})^6-\frac{1}{7!}(v\hat{q})^7+... \right) \end{align*} \]

这里有一点不同的是,我们计算四元数的幂次的时候需要谨慎,可以先手动计算一下:

\[\begin{align*} (v\hat{q})^2&=0-(v\hat{q})\cdot (v\hat{q})+0+0+(v\hat{q})\times(v\hat{q})=-|v|^2\\ (v\hat{q})^3&=-|v|^2(v\hat{q})\\ (v\hat{q})^4&=|v|^4\\ (v\hat{q})^5&=|v|^4(v\hat{q})\\ (v\hat{q})^6&=-|v|^6\\ (v\hat{q})^7&=-|v|^6(v\hat{q})\\ &... \end{align*} \]

代入四元数的指数部分进行计算可得:

\[\begin{align*} e^q&=e^{s+v\hat{q}}\\ &=e^s\left( 1+v\hat{q}-\frac{1}{2!}|v|^2-\frac{1}{3!}|v|^2(v\hat{q})+\frac{1}{4!}|v|^4+\frac{1}{5!}|v|^4(v\hat{q})-\frac{1}{6!}|v|^6-\frac{1}{7!}|v|^6(v\hat{q})+... \right)\\ &=e^s\left( cos|v|+\frac{v\hat{q}}{|v|}sin|v| \right) \end{align*} \]

这就是四元数的指数运算。

四元数的指数表示

区分于上一个章节中的四元数的指数运算,这个章节我们是要用一个指数形式去表示任意给定的一个四元数。因为在上一个章节中我们发现,一个四元数的指数形式是另外一个四元数,因此,理论上说我们可以用一个指数形式来表示任意的一个四元数。我们首先还是参考一下复数的指数表示:

\[z=x+iy=\sqrt{x^2+y^2}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+i\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\sqrt{x^2+y^2}e^{i\frac{y}{|y|}\ arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)} \]

类似地,一个四元数可以表示为:

\[q=s+v\hat{q}=\sqrt{s^2+|v|^2}\left( \frac{s}{\sqrt{s^2+|v|^2}}+\frac{v\hat{q}}{|v|}\frac{|v|}{\sqrt{s^2+|v|^2}} \right)=\sqrt{s^2+|v|^2}e^{\hat{q}\frac{v}{|v|}\ arccos\left(\frac{s}{\sqrt{s^2+|v|^2}}\right)} \]

比较有意思的是,如果我们取\(q=s+ix+jy+kz\)中的\(y=0,z=0\)时,我们发现\(v=\pm|v|,\hat{q}=i\),这样一来,四元数的指数表示形式就和复数的指数表示形式完全对应上了。

四元数的对数

在上一个章节中,如果我们把一个四元数表示成一个指数的形式,就会很大程度上方便我们去计算一个四元数\(q=s+v\hat{q}\)的对数:

\[\begin{align*} log(q)&=log\left(\sqrt{s^2+|v|^2}e^{\hat{q}\frac{v}{|v|}\ arccos\left(\frac{s}{\sqrt{s^2+|v|^2}}\right)}\right)\\ &=log\left(\sqrt{s^2+|v|^2}\right)+\hat{q}\frac{v}{|v|}\ arccos\left(\frac{s}{\sqrt{s^2+|v|^2}}\right) \end{align*} \]

这样就得到了四元数的对数的二元表示形式。

四元数的幂次

了解了四元数的指数和对数的计算模块之后,我们可以计算一个四元数的幂次。正是由于四元数的指数表示形式,使得我们可以将四元数的幂次简单的转化成乘法的表示形式:

\[q^t=\left[\sqrt{s^2+|v|^2}e^{\hat{q}\frac{v}{|v|}\ arccos\left(\frac{s}{\sqrt{s^2+|v|^2}}\right)}\right]^t= \left(s^2+|v|^2\right)^{\frac{t}{2}}e^{\hat{q}\frac{vt}{|v|}\ arccos\left(\frac{s}{\sqrt{s^2+|v|^2}}\right)} \]

那么这就得到了四元数的幂次表达形式。

欧拉角旋转四元数

在上一篇文章中我们提到过,每一个四元数其实都可以对应于三维空间的一个向量旋转,一个四元数\(q\)作用在一个空间向量\(v\)上就会旋转得到一个新的空间向量:

\[v'=qvq^* \]

而如果给定了三维空间中的旋转欧拉角,在四元数中就可以表示为相应的旋转四元数。比如绕\(X\)轴旋转\(\beta\)角所对应的四元数为:\(q=cos\frac{\beta}{2}+i\ sin\frac{\beta}{2}\),绕\(Y\)轴旋转\(\alpha\)角所对应的四元数为:\(q=cos\frac{\alpha}{2}-j\ sin\frac{\alpha}{2}\),绕\(Z\)轴旋转\(\gamma\)角所对应的四元数为:\(q=cos\frac{\gamma}{2}+k\ sin\frac{\gamma}{2}\)。而通常使用的\(ZXY\)顺规可表示为:

\[q=\left(cos\frac{\alpha}{2}-j\ sin\frac{\alpha}{2}\right)\left(cos\frac{\beta}{2}+i\ sin\frac{\beta}{2}\right)\left(cos\frac{\gamma}{2}+k\ sin\frac{\gamma}{2}\right) \]

关于更多的旋转四元数的内容,可以阅读一下参考链接3中的内容。

向量变换四元数

这个问题的定义是比较清晰的,如果给定空间中的两个不同的向量,能否直接获得这两个向量之间变换的四元数呢?如果用公式来表示就是:已知\(\textbf{v}_1,\textbf{v}_2\)两个空间向量,求\(q\)使得\(\textbf{v}_2=q\textbf{v}_1q^*\)。关于这个问题的求解,在参考链接3中也是有介绍的,这里再简单提一下计算方法:

\[\textbf{u}=\textbf{v}_1\times\textbf{v}_2\\ cos\theta=\frac{\textbf{v}_1\cdot\textbf{v}_2}{|\textbf{v}_1||\textbf{v}_2|}\\ q=cos\frac{\theta}{2}+i\ sin\frac{\theta}{2}\textbf{u}\cdot i+j\ sin\frac{\theta}{2}\textbf{u}\cdot j+k\ sin\frac{\theta}{2}\textbf{u}\cdot k \]

这个算法的本质,其实就是先用向量叉乘找到旋转轴,然后计算两个向量之间的夹角,最后再使用四元数的绕旋转轴旋转指定角度的公式计算,就可以得到对应的空间向量变换的四元数。

总结概要

本文主要介绍四元数Quaternion的一些基本运算法则。四元数的概念,更像是复数的一个推广,在图形学和工程学中有大量的应用,在蛋白质结构预测软件AlphaFold和MEGA-Protein中都大量的使用了四元数的计算。而大部分的四元数的教材中写的计算法则,经常把各类乘法混在一起使用,阅读起来非常难受,因此只好自己总结一下四元数的相关运算。并且跟我们所熟悉的复数运算有一定的对比,更加容易去理解四元数的概念。

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参考链接

  1. https://www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/
  2. http://www.songho.ca/math/taylor/taylor_tri.html
  3. https://www.cnblogs.com/dechinphy/p/quaternion.html

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