z反变换计算机控制,计算机控制4.Z变换.ppt

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1、1,第4部分 Z变换,Z变换的定义,4.1,Z变换的求法,4.2,Z反变换,4.3,线性离散系统的Z变换分析,4,2,Z变换,Z变换的定义,4.1,Z变换的求法,4.2,Z反变换,4.3,线性离散系统的Z变换分析,4,3,Z变换的引入,Z变换Z变换的定义,采样信号表达式 对上式进行Laplace变换 引入 ,同时令 ,则得到Z变换的定义式,4,Z变换的特点,Z变换Z变换的定义,(1) 只有采样函数 f*(t)才能定义Z变换,得到的F(z)是z的幂多项式(有 理分式),便于研究,Z变换的实质是采样信号的拉式变换 (2) 比较下面两式 于是f(kT)决定幅值,z-k决定时间,z-1对应于(t-T)。

2、, z-k对应于(t-kT) z-1时间上延迟一个周期, z-k延迟k步,便于差分方程描述 (3) Z 变换是由采样函数决定的 它反映不了非采样时刻的信 息,例如右图就是采样函数 相同但是连续函数不同,即 F(z)与f(t)并非唯一对应的关 系,5,Z变换的特点,Z变换Z变换的定义,(4) F(z)的表现形式,6,Z变换,Z变换的定义,1,Z变换的求法,2,Z反变换,3,线性离散系统的Z变换分析,4,7,直接法(级数求和法),Z变换Z变换的求法,例:求单位脉冲函数f(t)= (t)的Z变换 解:根据脉冲函数的定义 于是有 依据Z变换的定义得到f(t)的Z变换为,8,直接法(级数求和法),Z变换。

3、Z变换的求法,例:求单位阶跃信号f(t)=1(t)的Z变换 解:根据单位阶跃信号的定义 由Z变换的定义可得: 由无穷递缩等比数列的求和公式可得:,9,直接法(级数求和法),Z变换Z变换的求法,例:求单位斜坡函数f(t)=t的Z变换 解:根据单位斜坡函数的定义 根据Z变换的定义可得: 令: 则: (1)-(2)得: 所以,10,直接法(级数求和法),Z变换Z变换的求法,练: 求指数函数f(t)=e-t的Z变换,11,部分分式展开法(查表法),Z变换Z变换的求法,线性常系数微分方程,可以写成传递函数F(s):特征值为实数(一阶 系统)或者一对共轭复根(二阶系统)。 F(s)可以分解为一阶和二阶环节。

4、之和(部分分式展开),分别查表,得 到Z变换式,再求和。 例:求 的Z变换 解:将F(s)表示成为部分分式和的形式 查表得F(s)的Z变换为 常用Z变换表见文档,12,已知F(s)求F(z),Z变换Z变换的求法,方法一:先把F(s)利用拉氏反变换求出f(t),然后将其离散化求出f*(t),再 求其z变换 方法二:将F(s)表示成部分分式,再利用Z变换表求其Z变换 几种记法:,13,Z变换的几点说明,Z变换Z变换的求法,(1) Z变换的定义式为 很明显,定义式是是关于z的幂级数。只有级数收敛时,才称为采样 函数的Z变换 (2) Z变换的物理意义表现在延迟性上,级数展开 若将z1的看作移位算子,k。

5、为位移量,f(kT)为幅度,则F(z)是单位位 移序列的幅度加权和 (3) Z变换的实质是拉氏变换,由于采样函数是连续函数中的特定点,故Z 变换也可看作是拉氏变换的一种特例 (4) 连续函数不存在Z变换。Z变换只对采样点有意义,采样函数与Z变换 是一一对应的。而与连续时间函数之间无一一对应关系。如单位脉冲 序列T(t)和单位阶跃函数1(t)的Z变换形式相同,但对应的连续函数不 同,14,Z变换的性质,Z变换Z变换的求法,线性性质 由Z变换的定义可知,Z变换是线性变换。于是假设f1(t)的Z变换为 F1(z),f2(t)的Z变换为F2(z), 又a, b是任意常数,如下结论成立: 如果: f(t。

6、)af1(t)bf2(t) 则有: F(z) aF1(z) bF2(z),15,Z变换的性质,Z变换Z变换的求法,实位移性质1右位移定理(滞后性质定理) 若t0时,f(t)0,且F(z)Zf(t) ,则Zf(tnT)z-nF(z) 证明: 设 则: m0时,f(mT)0,故: 因此,z变换F(z) 乘以zn,相当于 时间函数f(t)延迟nT,16,Z变换的性质,Z变换Z变换的求法,实位移性质2左位移定理(超前性质定理) 若t0时,f(t)0,且F(z)Zf(t) ,则 请自行证明 例:求图示函数的Z变换 解: f(t)1(t 4T),17,Z变换的性质,Z变换Z变换的求法,初值定理 如果f(t。

7、)的Z变换为F(z),且 存在, f(k) 或 f(t)的初值 终值定理 如果f(t)的Z变换为F(z),且 在Z平面上以原点为圆心的单位圆 上和圆外没有极点,则,18,第4部分 Z变换,Z变换的定义,4.1,Z变换的求法,4.2,Z反变换,4.3,线性离散系统的Z变换分析,4,19,长除法(幂级数展开法),Z变换Z反变换,对于 通过长除可得到幂级数展开式 例:求长除法求函数 的Z反变换,20,部分分式法(查表法),例:用部分分式法求 的Z反变换 解:,Z变换Z反变换,21,第4部分 Z变换,Z变换的定义,4.1,Z变换的求法,4.2,Z反变换,4.3,线性离散系统的Z变换分析,4,22,线性。

8、离散系统的数学描述,与连续系统的分析相同,离散系统的数学模型主要有时 域模型(差分方程)与复域模型(脉冲传递函数)。二者之 间可相互转换,其关系与连续系统的微分方程、传递函数相 同。在离散控制系统中,连续信号被离散时间信号所取代, 描述系统的时域模型就成了差分方程,系统用变量的前后序 列差表示。,Z变换线性离散系统的Z变换分析,23,线性离散系统的差分方程,Z变换线性离散系统的Z变换分析,单输入单输出线性定常系统,某采样时刻的输出值 c(kT) 不仅与这一 时刻的输入值 r(kT)有关,而且与过去时刻的输入值r(kT-T),r(kT-2T)有 关,同时还与过去的输出值c(kT-T), c(kT。

9、-2T)有关。可以把这种关系描 述如下: 当系数均为常数时,上式为线性定常差分方程。上述方程还可以简写为:,24,差分方程的求解,Z变换线性离散系统的Z变换分析,递推法 根据系统的初始状态和系统输入,按照时间顺序依次计算系统的 输出,按此方法不断迭代下去就可以求得任意时刻输出,该方法算法 简单,无闭合形式,便于编程求解。 例:已知一个数字系统的差分方程为 系统输入信号 ,c(0)=2,试求解该差分方程 解:c(k) = -c(k-1)+r(k)+2r(k-2) k=1: c(1) = -c(0)+r(1)+2r(-1) = -2+1 = -1 k=2: c(2) = -c(1)+r(2)+2r。

10、(0) = 1+2+0 = 3 k=3: c(3) = -c(2)+r(3)+2r(1) = -3+3+2 = 2 以此类推,25,差分方程的求解,Z变换线性离散系统的Z变换分析,Z变换法 用Z变换法求解差分方程主要用到变换的平移定理。一般对含输入输 出的各项进行Z变换之后进行求解。该方法可以得出系统的解析解,但是 应当检验初始条件 例:用Z变换求解差分方程:c(k+2)+3c(k+1)+2c(k) = 0,c(0) = 0, c(1) = 1 解:对上式进行 Z变换得: Zc(k+2)+3c(k+1)+2c(k) = 0 由 Z变换的线性定理: Zc(k+2)+Z3c(k+1)+Z2c(k)。

11、 =0 由 Z变换的超前定理: 带入系统的初始值得: 查表得:,26,脉冲传递函数,Z变换线性离散系统的Z变换分析,脉冲传递函数的定义 为了应用脉冲传递函数的概念,通 常可在输出端虚设一采样开关,对 输出的连续时间信号做假想采样来 获得输出信号的采样信号。,27,脉冲传递函数,Z变换线性离散系统的Z变换分析,脉冲传递函数的推导 由G(s)求G(z) (1) 对G(s)做拉式反变换,求得脉冲响应 (2) 对h(t)采样,求得离散系统脉冲的响应 (3) 对h(t)作Z变换,得离散系统脉冲的响应,28,脉冲传递函数,Z变换线性离散系统的Z变换分析,脉冲传递函数与差分方程 差分方程形式: 写成求和形式: 零初始条件下: 整理上式可得:,29,脉冲传递函数,Z变换线性离散系统的Z变换分析,例:求图示系统的脉冲传递函数 解:,30,脉冲传递函数,Z变换线性离散系统的Z变换分析,例:求图示系统的脉冲传递函数 解。

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