第十二届蓝桥杯省赛 - B组 砝码称重

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第十二届蓝桥杯省赛 - B组 双向排序

你有一架天平和 N 个砝码,这 N 个砝码重量依次是 W1,W2,⋅⋅⋅,WN。

请你计算一共可以称出多少种不同的正整数重量?

注意砝码可以放在天平两边。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 N。

第二行包含 N 个整数:W1,W2,W3,⋅⋅⋅,WN。

输出格式

输出一个整数代表答案。

数据范围

对于 50% 的评测用例,1≤N≤15。
对于所有评测用例,1≤N≤100,N 个砝码总重不超过 105

输入样例:

3
1 4 6

输出样例:

10

样例解释

能称出的 10 种重量是:1、2、3、4、5、6、7、9、10、11。

1 = 1;
2 = 6 − 4 (天平一边放 6,另一边放 4);
3 = 4 − 1;
4 = 4;
5 = 6 − 1;
6 = 6;
7 = 1 + 6;
9 = 4 + 6 − 1;
10 = 4 + 6;
11 = 1 + 4 + 6。

这道题我们可以看到对于百分之 50 的样例 N 是 1 ~ 15 的,所以只用暴力求解是没办法得全分的。这时候就要用到动态规划中的背包问题的解法了,我们可以将这道题的情况分为以下三类:
(1)不选第 i 个砝码
(2)选并加上第 i 个砝码
(3)选并减去第 i 个砝码
然后我们建立一个二维数组去保存当前重量是否可以达到,通过枚举所有物品再枚举所有重量,来判断最终结果。

代码

#include 
using namespace std;

int n, m = 0;
const int N = 110, M = 200010, B = M / 2; //因为重量可能为负,所以M要乘2,B为偏移量
bool f[N][M];
int w[N];

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &w[i]);
		m += w[i];
	}

	f[0][B] = true;	//什么都不选的时候为true
	//为了防止下标为负数,还要加偏移量B
	//这里采用或运算,这样当有一个情况是true,结果就会为true
	for (int i = 1; i <= n; i++) { //枚举每个物品
		for (int j = -m; j <= m; j++) { //判断是否选该物品
			f[i][j + B] = f[i - 1][j + B]; //不选w[i]
			if (j - w[i] >= -m)
				f[i][j + B] |= f[i - 1][j - w[i] + B]; //选w[i]
			if (j + w[i] <= m)
				f[i][j + B] |= f[i - 1][j + w[i] + B]; //选-w[i]
		}
	}

	//计算重量大于0的数量,因为加了偏移量即计算大于B的数量
	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		if (f[n][i + B])
			res++;
	cout << res << endl;
	return 0;
}

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