2022年数学建模国赛(A题/B题/C题)评阅要点

A题 (波浪能最大输出功率设计)评阅要点

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B题 无人机遂行编队飞行中的纯方位无源定位)评阅要点

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C题 (无人机遂行编队飞行中的纯方位无源定位)评阅要点)评阅要点

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附录:微分方程例程(与本文无关)

3.1 例题:求二阶 RLC 振荡电路的数值解

高阶常微分方程,必须做变量替换,化为一阶微分方程组,再用 odeint 求数值解。

零输入响应的 RLC 振荡电路可以由如下的二阶微分方程描述:

{ d 2 u d t 2 + R L ∗ d u d t + 1 L C ∗ u = 0 u ( 0 ) = U 0 u ′ ( 0 ) = 0 \begin{cases} \begin{aligned} &\frac{d^2 u}{dt^2} + \frac{R}{L} * \frac{du}{dt} + \frac{1}{LC}*u = 0\\ &u(0) = U_0\\ &u'(0)= 0 \end{aligned} \end{cases} dt2d2u+LRdtdu+LC1u=0u(0)=U0u(0)=0

α = R / 2 L \alpha = R/2L α=R/2L ω 0 2 = 1 / L C \omega_0^2=1/LC ω02=1/LC,在零输入响应 u s = 0 u_s=0 us=0 时上式可以写成:

{ d 2 u d t 2 + 2 α d u d t + ω 0 2 u = 0 u ( 0 ) = U 0 u ′ ( 0 ) = 0 \begin{cases} \begin{aligned} &\frac{d^2 u}{dt^2} + 2 \alpha \frac{du}{dt} + \omega_0^2 u = 0\\ &u(0) = U_0\\ &u'(0)= 0 \end{aligned} \end{cases} dt2d2u+2αdtdu+ω02u=0u(0)=U0u(0)=0
对二阶微分方程问题,引入变量 v = d u / d t v = {du}/{dt} v=du/dt,通过变量替换就把原方程化为如下的微分方程组:

{ d u d t = v d v d t = − 2 α v − ω 0 2 u u ( 0 ) = U 0 v ( 0 ) = 0 \begin{cases} \begin{aligned} &\frac{du}{dt} = v \\ &\frac{dv}{dt} = -2\alpha v - \omega_0^2 u\\ &u(0)=U_0\\ &v(0)=0 \end{aligned} \end{cases} dtdu=vdtdv=2αvω02uu(0)=U0v(0)=0

这样就可以用上节求解微分方程组的方法来求解高阶微分方程问题。


3.2 二阶微分方程问题的编程步骤

以RLC 振荡电路为例讲解 scipy.integrate.odeint() 求解高阶常微分方程初值问题的步骤:

  1. 导入 scipy、numpy、matplotlib 包;

  2. 定义导数函数 deriv(Y, t, a, w)

    注意 odeint() 函数中定义导数函数的标准形式是 f ( y , t ) f(y,t) f(y,t) ,本问题中 y 表示向量,记为 Y = [ u , v ] Y=[u,v] Y=[u,v]

    导数定义函数 deriv(Y, t, a, w) 编程如下,其中 a, w 分别表示方程中的参数 α 、 ω \alpha、\omega αω

# 导数函数,求 Y=[u,v] 点的导数 dY/dt
def deriv(Y, t, a, w):
    u, v = Y  # Y=[u,v]
    dY_dt = [v, -2*a*v-w*w*u]
    return dY_dt
  1. 定义初值 Y 0 = [ u 0 , v 0 ] Y_0=[u_0,v_0] Y0=[u0,v0] Y Y Y 的定义区间 [ t 0 ,   t ] [t_0,\ t] [t0, t]

  2. 调用 odeint() 求 Y = [ u , v ] Y=[u,v] Y=[u,v] 在定义区间 [ t 0 ,   t ] [t_0,\ t] [t0, t] 的数值解。

    例程中通过 args=paras 将参数 (a,w) 传递给导数函数 deriv(Y, t, a, w) 。本例要考察不同参数对结果的影响,这种参数传递方法使用非常方便。


3.3 二阶微分方程问题 Python 例程

# 3. 求解二阶微分方程初值问题(scipy.integrate.odeint)
# Second ODE by scipy.integrate.odeint
from scipy.integrate import odeint  # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 导数函数,求 Y=[u,v] 点的导数 dY/dt
def deriv(Y, t, a, w):
    u, v = Y  # Y=[u,v]
    dY_dt = [v, -2*a*v-w*w*u]
    return dY_dt

t = np.arange(0, 20, 0.01)  # 创建时间点 (start,stop,step)
# 设置导数函数中的参数 (a, w)
paras1 = (1, 0.6)  # 过阻尼:a^2 - w^2 > 0
paras2 = (1, 1)  # 临界阻尼:a^2 - w^2 = 0
paras3 = (0.3, 1)  # 欠阻尼:a^2 - w^2 < 0

# 调用ode对进行求解, 用两个不同的初始值 W1、W2 分别求解
Y0 = (1.0, 0.0)  # 定义初值为 Y0=[u0,v0]
Y1 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras1)  # args 设置导数函数的参数
Y2 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras2)  # args 设置导数函数的参数
Y3 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras3)  # args 设置导数函数的参数
# W2 = (0.0, 1.01, 0.0)  # 定义初值为 W2
# track2 = odeint(lorenz, W2, t, args=paras)  # 通过 paras 传递导数函数的参数

# 绘图
plt.plot(t, Y1[:, 0], 'r-', label='u1(t)')
plt.plot(t, Y2[:, 0], 'b-', label='u2(t)')
plt.plot(t, Y3[:, 0], 'g-', label='u3(t)')
plt.plot(t, Y1[:, 1], 'r:', label='v1(t)')
plt.plot(t, Y2[:, 1], 'b:', label='v2(t)')
plt.plot(t, Y3[:, 1], 'g:', label='v3(t)')
plt.axis([0, 20, -0.8, 1.2])
plt.legend(loc='best')
plt.title("Second ODE by scipy.integrate.odeint")
plt.show()

3.4 二阶方程问题 Python 例程运行结果

在这里插入图片描述

结果讨论:

RLC串联电路是典型的二阶系统,在零输入条件下根据 α \alpha α ω \omega ω 的关系,电路的输出响应存在四种情况:

  1. 过阻尼: α 2 − ω 2 > 0 \alpha^2 - \omega^2>0 α2ω2>0 ,有 2 个不相等的负实数根;
  2. 临界阻尼: α 2 − ω 2 = 0 \alpha^2 - \omega^2 = 0 α2ω2=0,有 2 个相等的负实数根;
  3. 欠阻尼: α 2 − ω 2 < 0 \alpha^2 - \omega^2 <0 α2ω2<0,有一对共轭复数根;
  4. 无阻尼: R = 0 R=0 R=0,有一对纯虚根。

例程中所选择的 3 组参数分别对应过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的条件,微分方程的数值结果很好地体现了不同情况的相应曲线。

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