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线段树(动态开点)的两种方式
标题描绘
Tag : 「线段树(动态开点)」、「线段树」
完成一个 MyCalendar 类来寄存你的日程布置。假如要添加的时间内不会招致三重预订时,则能够存储这个新的日程布置。
MyCalendar 有一个 book(int start, int end) 办法。它意味着在 start 到 end 时间内增加一个日程布置,留意,这里的时间是半开区间,即 [start,end)[start, end)[start,end), 实数 xxx 的范围为, start<=x当三个日程布置有一些时间上的穿插时(例如三个日程布置都在同一时间内),就会产生三重预订。
每次调用 MyCalendar.book 办法时,假如能够将日程布置胜利添加到日历中而不会招致三重预订,返回 true。否则,返回 false 并且不要将该日程布置添加到日历中。
请依照以下步骤调用 MyCalendar 类: MyCalendar cal = new MyCalendar(); MyCalendar.book(start, end)
示例:
MyCalendar();
MyCalendar.book(10, 20); // returns true
MyCalendar.book(50, 60); // returns true
MyCalendar.book(10, 40); // returns true
MyCalendar.book(5, 15); // returns false
MyCalendar.book(5, 10); // returns true
MyCalendar.book(25, 55); // returns true

解释:
前两个日程布置能够添加至日历中。 第三个日程布置会招致双重预订,但能够添加至日历中。
第四个日程布置活动(5,15)不能添加至日历中,由于它会招致三重预订。
第五个日程布置(5,10)能够添加至日历中,由于它未运用曾经双重预订的时间10。
第六个日程布置(25,55)能够添加至日历中,由于时间 [25,40] 将和第三个日程布置双重预订;
时间 [40,50] 将单独预订,时间 [50,55)将和第二个日程布置双重预订。复制代码
提示:

每个测试用例,调用 MyCalendar.book 函数最多不超越 100010001000 次。
调用函数 MyCalendar.book(start, end) 时, start 和 end 的取值范围为 0,109[0,109]。

线段树(动态开点)- 估点
和 729. 我的日程布置表 I 简直完整分歧,只需求将对「线段树」所维护的节点信息停止调整即可。
线段树维护的节点信息包括:

ls/rs: 分别代表当前节点的左右子节点在线段树数组 tr 中的下标;
add: 懒标志;
max: 为当前区间的最大值。

关于常规的线段树完成来说,都是一开端就调用 build 操作创立空树,而线段树普通以「满二叉树」的方式用数组存储,因而需求 4×n4 \times n4×n 的空间,并且这些空间在起始 build 空树的时分曾经锁死。
假如一道题仅仅是「值域很大」的离线题(提早知晓一切的讯问),我们还能经过「离散化」来停止处置,将值域映射到一个小空间去,从而处理 MLE 问题。
但关于本题而言,由于「强迫在线」的缘由,我们无法停止「离散化」,同时值域大小到达 1e91e91e9 级别,因而假如我们想要运用「线段树」停止求解,只能采取「动态开点」的方式停止。
动态开点的优势在于,不需求事前结构空树,而是在插入操作 add 和查询操作 query 时依据访问需求停止「开点」操作。由于我们不保证查询和插入都是连续的,因而关于父节点 uuu 而言,我们不能经过 u << 1 和 u << 1 | 1 的固定方式停止访问,而要将节点 tr[u]tr[u]tr[u] 的左右节点所在 tr 数组的下标停止存储,分别记为 ls 和 rs 属性。关于 tr[u].ls=0tr[u].ls = 0tr[u].ls=0 和 tr[u].rs=0tr[u].rs = 0tr[u].rs=0 则是代表子节点尚未被创立,当需求访问到它们,而又尚未创立的时分,则将其停止创立。
由于存在「懒标志」,线段树的插入和查询都是 log⁡n\log{n}logn 的,因而我们在单次操作的时分,最多会创立数量级为 log⁡n\log{n}logn 的点,因而空间复杂度为 O(mlog⁡n)O(m\log{n})O(mlogn),而不是 O(4×n)O(4 \times n)O(4×n),而开点数的预估需不能仅仅依据 log⁡n\log{n}logn 来停止,还要对常熟停止剖析,才干得到精确的点数上界。
动态开点相比于原始的线段树完成,实质仍是运用「满二叉树」的方式停止存储,只不过是按需创立区间,假如我们是依照连续段停止查询或插入,最坏状况下依然会占到 4×n4 \times n4×n 的空间,因而盲猜 log⁡n\log{n}logn 的常数在 444 左右,激进一点能够直接预算到 666,因而我们能够预算点数为 6×m×log⁡n6 \times m \times \log{n}6×m×logn,其中 n=1e9n = 1e9n=1e9 和 m=1e3m = 1e3m=1e3 分别代表值域大小和查询次数。
当然一个比拟适用的估点方式能够「尽可能的多开点数」,应用标题给定的空间上界和我们创立的自定义类(构造体)的大小,尽可能的多开( Java 的 128M128M128M 能够开到 5×1065 \times 10^65×106 以上)。
Java 代码:
class MyCalendarTwo {

class Node {
    int ls, rs, add, max;
}
int N = (int)1e9, M = 120010, cnt = 1;
Node[] tr = new Node[M];
void update(int u, int lc, int rc, int l, int r, int v) {
    if (l <= lc && rc <= r) {
        tr[u].add += v;
        tr[u].max += v;
        return ;
    }
    lazyCreate(u);
    pushdown(u);
    int mid = lc + rc >> 1;
    if (l <= mid) update(tr[u].ls, lc, mid, l, r, v);
    if (r > mid) update(tr[u].rs, mid + 1, rc, l, r, v);
    pushup(u);
}
int query(int u, int lc, int rc, int l, int r) {
    if (l <= lc && rc <= r) return tr[u].max;
    lazyCreate(u);
    pushdown(u);
    int mid = lc + rc >> 1, ans = 0;
    if (l <= mid) ans = Math.max(ans, query(tr[u].ls, lc, mid, l, r));
    if (r > mid) ans = Math.max(ans, query(tr[u].rs, mid + 1, rc, l, r));
    return ans;
}
void lazyCreate(int u) {
    if (tr[u] == null) tr[u] = new Node();
    if (tr[u].ls == 0) {
        tr[u].ls = ++cnt;
        tr[tr[u].ls] = new Node();
    }
    if (tr[u].rs == 0) {
        tr[u].rs = ++cnt;
        tr[tr[u].rs] = new Node();
    }
}
void pushup(int u) {
    tr[u].max = Math.max(tr[tr[u].ls].max, tr[tr[u].rs].max);
}
void pushdown(int u) {
    tr[tr[u].ls].add += tr[u].add; tr[tr[u].rs].add += tr[u].add;
    tr[tr[u].ls].max += tr[u].add; tr[tr[u].rs].max += tr[u].add;
    tr[u].add = 0;
}
public boolean book(int start, int end) {
    if (query(1, 1, N + 1, start + 1, end) >= 2) return false;
    update(1, 1, N + 1, start + 1, end, 1);
    return true;
}

}
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TypeScript 代码:
class TNode {

ls: number = 0; rs: number = 0
max:number = 0; add: number = 0;  

}
class MyCalendarTwo {

N = 1e9; M = 120010; cnt = 1
tr: TNode[] = new Array(this.M)
query(u: number, lc: number, rc: number, l: number, r: number): number {
    if (l <= lc && rc <= r) return this.tr[u].max;
    this.pushdown(u)
    let mid = lc + rc >> 1, ans = 0
    if (l <= mid) ans = Math.max(ans, this.query(this.tr[u].ls, lc, mid, l, r))
    if (r > mid) ans = Math.max(ans, this.query(this.tr[u].rs, mid + 1, rc, l, r))
    return ans
}
update(u: number, lc: number, rc: number, l: number, r: number, v: number): number {
    if (l <= lc && rc <= r) {
        this.tr[u].add += v
        this.tr[u].max += v
        return 
    }
    this.pushdown(u)
    let mid = lc + rc >> 1
    if (l <= mid) this.update(this.tr[u].ls, lc, mid, l, r, v)
    if (r > mid) this.update(this.tr[u].rs, mid + 1, rc, l, r, v)
    this.pushdup(u)
}
pushdown(u: number): void {
    if (this.tr[u] == null) this.tr[u] = new TNode()
    if (this.tr[u].ls == 0) {
        this.tr[u].ls = ++this.cnt
        this.tr[this.tr[u].ls] = new TNode()
    }
    if (this.tr[u].rs == 0) {
        this.tr[u].rs = ++this.cnt
        this.tr[this.tr[u].rs] = new TNode()
    }
    const add = this.tr[u].add
    this.tr[this.tr[u].ls].add += add; this.tr[this.tr[u].rs].add += add
    this.tr[this.tr[u].ls].max += add; this.tr[this.tr[u].rs].max += add
    this.tr[u].add = 0
}
pushdup(u: number): void {
    this.tr[u].max = Math.max(this.tr[this.tr[u].ls].max, this.tr[this.tr[u].rs].max)
}
book(start: number, end: number): boolean {
    if (this.query(1, 1, this.N + 1, start + 1, end) >= 2) return false
    this.update(1, 1, this.N + 1, start + 1, end, 1)
    return true
}

}
复制代码

时间复杂度:令 nnn 为值域大小,本题固定为 1e91e91e9,线段树的查询和增加复杂度均为 O(log⁡n)O(\log{n})O(logn)
空间复杂度:令讯问数量为 mmm,复杂度为 O(mlog⁡n)O(m\log{n})O(mlogn)

线段树(动态开点)- 动态指针
应用「动态指针」完成的「动态开点」能够有效防止数组估点问题,更重要的是能够有效防止 new 大数组的初始化开支,关于 LC 这种还跟你算一切样例总时长的 OJ 来说,在不思索 static 优化/全局数组优化 的状况下,动态指针的方式要比估点的方式来得好。
Java 代码:
class MyCalendarTwo {

class Node {
    Node ls, rs;
    int max, add;
}
int N = (int)1e9;
Node root = new Node();
void update(Node node, int lc, int rc, int l, int r, int v) {
    if (l <= lc && rc <= r) {
        node.add += v;
        node.max += v;
        return ;
    }
    pushdown(node);
    int mid = lc + rc >> 1;
    if (l <= mid) update(node.ls, lc, mid, l, r, v);
    if (r > mid) update(node.rs, mid + 1, rc, l, r, v);
    pushup(node);
}
int query(Node node, int lc, int rc, int l, int r) {
    if (l <= lc && rc <= r) return node.max;
    pushdown(node);
    int mid = lc + rc >> 1, ans = 0;
    if (l <= mid) ans = query(node.ls, lc, mid, l, r);
    if (r > mid) ans = Math.max(ans, query(node.rs, mid + 1, rc, l, r));
    return ans;
}
void pushdown(Node node) {
    if (node.ls == null) node.ls = new Node();
    if (node.rs == null) node.rs = new Node();
    int add = node.add;
    node.ls.max += add; node.rs.max += add;
    node.ls.add += add; node.rs.add += add;
    node.add = 0;
}
void pushup(Node node) {
    node.max = Math.max(node.ls.max, node.rs.max);
}
public boolean book(int start, int end) {
    if (query(root, 0, N, start, end - 1) >= 2) return false;
    update(root, 0, N, start, end - 1, 1);
    return true;
}

}
复制代码
TypeScript 代码:
class TNode {

ls: TNode = null; rs: TNode = null
max: number = 0; add: number = 0

}
class MyCalendarTwo {

root: TNode = new TNode()
update(node: TNode, lc: number, rc: number, l: number, r: number, v: number): void {
    if (l <= lc && rc <= r) {
        node.add += v
        node.max += v
        return 
    }
    this.pushdown(node)
    let mid = lc + rc >> 1
    if (l <= mid) this.update(node.ls, lc, mid, l, r, v)
    if (r > mid) this.update(node.rs, mid + 1, rc, l, r, v)
    this.pushup(node)
}
query(node: TNode, lc: number, rc: number, l: number, r: number): number {
    if (l <= lc && rc <= r) return node.max
    let mid = lc + rc >> 1, ans = 0
    this.pushdown(node)
    if (l <= mid) ans = this.query(node.ls, lc, mid, l, r)
    if (r > mid) ans = Math.max(ans, this.query(node.rs, mid + 1, rc, l, r))
    return ans
}
pushdown(node: TNode): void {
    if (node.ls == null) node.ls = new TNode()
    if (node.rs == null) node.rs = new TNode()
    const add = node.add
    node.ls.add += add; node.rs.add += add
    node.ls.max += add; node.rs.max += add
    node.add = 0
}
pushup(node: TNode): void {
    node.max = Math.max(node.ls.max, node.rs.max)
}
book(start: number, end: number): boolean {
    if (this.query(this.root, 0, 1e9, start, end - 1) >= 2) return false
    this.update(this.root, 0, 1e9, start, end - 1, 1)
    return true
}

}
复制代码

时间复杂度:令 nnn 为值域大小,本题固定为 1e91e91e9,线段树的查询和增加复杂度均为 O(log⁡n)O(\log{n})O(logn)
空间复杂度:令讯问数量为 mmm,复杂度为 O(mlog⁡n)O(m\log{n})O(mlogn)

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