李沐动手学深度学习V2-注意力评分函数

一. 注意力评分函数

1. 注意力评分权重

在上篇博客李沐动手学深度学习V2-注意力机制中,使用高斯核来对查询和键之间的关系建模。 将Nadaraya-Watson-Gaussian中的高斯核指数部分视为注意力评分函数(attention scoring function), 简称评分函数(scoring function), 然后把这个函数的输出结果输入到softmax函数中进行运算。 通过上述步骤,我们将得到与键对应的值的概率分布(即注意力权重),最后注意力汇聚的输出就是基于这些注意力权重的值的加权和
下图说明了 如何将注意力汇聚的输出计算成为值的加权和, 其中 表示注意力评分函数。 由于注意力权重是概率分布, 因此加权和其本质上是加权平均值。
李沐动手学深度学习V2-注意力评分函数_第1张图片
用数学语言描述,假设有一个查询 q ∈ R q \mathbf{q} \in \mathbb{R}^q qRq m m m个“键-值”对 ( k 1 , v 1 ) , … , ( k m , v m ) (\mathbf{k}_1, \mathbf{v}_1), \ldots, (\mathbf{k}_m, \mathbf{v}_m) (k1,v1),,(km,vm),其中 k i ∈ R k \mathbf{k}_i \in \mathbb{R}^k kiRk v i ∈ R v \mathbf{v}_i \in \mathbb{R}^v viRv。注意力汇聚函数 f f f就被表示成值的加权和:

f ( q , ( k 1 , v 1 ) , … , ( k m , v m ) ) = ∑ i = 1 m α ( q , k i ) v i ∈ R v , f(\mathbf{q}, (\mathbf{k}_1, \mathbf{v}_1), \ldots, (\mathbf{k}_m, \mathbf{v}_m)) = \sum_{i=1}^m \alpha(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i) \mathbf{v}_i \in \mathbb{R}^v, f(q,(k1,v1),,(km,vm))=i=1mα(q,ki)viRv,

其中查询 q \mathbf{q} q和键 k i \mathbf{k}_i ki的注意力权重(标量)是通过注意力评分函数 a a a 将两个向量映射成标量,再经过softmax运算得到的:

α ( q , k i ) = s o f t m a x ( a ( q , k i ) ) = exp ⁡ ( a ( q , k i ) ) ∑ j = 1 m exp ⁡ ( a ( q , k j ) ) ∈ R . \alpha(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i) = \mathrm{softmax}(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i)) = \frac{\exp(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i))}{\sum_{j=1}^m \exp(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_j))} \in \mathbb{R}. α(q,ki)=softmax(a(q,ki))=j=1mexp(a(q,kj))exp(a(q,ki))R.

从上面公式看出选择不同的注意力评分函数 a a a会导致不同的注意力汇聚操作,下面将介绍两个流行的评分函数:加性注意力评分函数和缩放点积注意力评分函数。

2. 掩码softmax操作

上面提到的softmax操作用于输出一个概率分布作为注意力权重。 在某些情况下,并非所有的值都应该被纳入到注意力汇聚中,例如为了在数据集中高效加载处理小批量数据集(每一个样本序列大小形状相同), 某些文本序列被填充了没有意义的特殊词元。 为了仅将有意义的词元作为值来获取注意力汇聚, 指定一个有效序列长度(即词元的个数), 以便在计算softmax时过滤掉超出指定范围的位置。 通过这种方式可以在下面的masked_softmax()函数中实现这样的掩蔽softmax操作(masked softmax operation), 其中任何超出有效长度的位置(注意力attention权重分数)都被掩蔽并置为0。

import torch
import d2l.torch
import math
from torch import nn
def masked_softmax(X,valid_lens):
    """通过在最后一个轴上掩蔽元素来执行softmax操作"""
    # X:3D张量,X也即是根据query和keys计算出来的attention分数,valid_lens:1D或2D张量,表示把与填充的keys计算出来的attention分数过滤掉,设置为很小的数-1e6,过滤掉后最后再进行计算softmax,使对填充的keys的attention权重为0
    shape = X.shape
    if valid_lens is None:
        return nn.functional.softmax(X,dim=-1)
    else:
        if valid_lens.dim() == 1:
            #valid_lens如果为1维则valid_lens第一个元素表示对X中第一个样本序列所有样本的valid_lens都是相同的,都是为valid_lens第一个元素长度
            valid_lens = torch.repeat_interleave(valid_lens,shape[1])
        else:
            valid_lens = valid_lens.reshape(-1)
        # 最后一轴上被掩蔽的元素使用一个非常大的负值替换,从而其softmax输出为0
        X = d2l.torch.sequence_mask(X.reshape(-1,shape[-1]),valid_lens,value=-1e6)
        return nn.functional.softmax(X.reshape(shape),dim=-1)

初始化两个 2×4 矩阵表示的样本, 这两个样本的有效长度分别为 2 和 3 , 经过掩蔽softmax()操作,超出有效长度的值都被掩蔽为0。

#(2,2,4)中第一维2表示2个批量,第二维2表示有2个query,第三维4表示对4个keys的attention分数
masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([2, 3])) 
输出结果如下:
tensor([[[0.6196, 0.3804, 0.0000, 0.0000],
         [0.5610, 0.4390, 0.0000, 0.0000]],

        [[0.2868, 0.4283, 0.2849, 0.0000],
         [0.2864, 0.2380, 0.4755, 0.0000]]])

有效长度使用二维张量,为矩阵样本中的每一行指定有效长度。

masked_softmax(torch.rand(size=(2,2,4)),valid_lens=torch.tensor([[1,3],[2,4]]))
输出结果如下:
tensor([[[1.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000],
         [0.3764, 0.2470, 0.3766, 0.0000]],

        [[0.6565, 0.3435, 0.0000, 0.0000],
         [0.1777, 0.2994, 0.2769, 0.2460]]])

3. 加性注意力

一般来说,当查询和键是不同长度的矢量时,可以使用加性注意力作为评分函数。给定查询 q ∈ R q \mathbf{q} \in \mathbb{R}^q qRq和键 k ∈ R k \mathbf{k} \in \mathbb{R}^k kRk,加性注意力(additive attention)的评分函数为:
a ( q , k ) = w v ⊤ tanh ( W q q + W k k ) ∈ R , a(\mathbf q, \mathbf k) = \mathbf w_v^\top \text{tanh}(\mathbf W_q\mathbf q + \mathbf W_k \mathbf k) \in \mathbb{R}, a(q,k)=wvtanh(Wqq+Wkk)R,
其中可学习的参数是 W q ∈ R h × q \mathbf W_q\in\mathbb R^{h\times q} WqRh×q W k ∈ R h × k \mathbf W_k\in\mathbb R^{h\times k} WkRh×k w v ∈ R h \mathbf w_v\in\mathbb R^{h} wvRh
将查询和键连结起来后输入到一个多层感知机(MLP)中,感知机包含一个隐藏层,其隐藏单元数是一个超参数 h h h,通过使用 tanh ⁡ \tanh tanh作为激活函数,并且禁用偏置项。

class AdditiveAttention(nn.Module):
    """加性注意力"""
    def __init__(self,key_size,query_size,num_hiddens,dropout):
        super(AdditiveAttention,self).__init__()
        self.W_q = nn.Linear(query_size,num_hiddens,bias=False)
        self.W_k = nn.Linear(key_size,num_hiddens,bias=False)
        self.W_v = nn.Linear(num_hiddens,1,bias=False)
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)
    def forward(self,queries,keys,values,valid_lens):
        queries = self.W_q(queries)
        keys = self.W_k(keys)
        # 在维度扩展后,
        # queries的形状:(batch_size,查询的个数,1,num_hidden)
        # key的形状:(batch_size,1,“键-值”对的个数,num_hiddens)
        # 使用广播方式进行求和
        features = queries.unsqueeze(2)+keys.unsqueeze(1)
        features = torch.tanh(features)
        # self.w_v仅有一个输出,因此从形状中移除最后那个维度。
        # scores的形状:(batch_size,查询的个数,“键-值”对的个数)
        scores = self.W_v(features)
        scores = scores.squeeze(-1)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores,valid_lens)
        # values的形状:(batch_size,“键-值”对的个数,值的维度)
        #批量矩阵乘法
        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights),values)

使用AdditiveAttention类, 其中查询、键和值的形状为(批量大小,步数或词元序列长度,特征大小), 实际输出为 (2,1,20) 、 (2,10,2) 和 (2,10,4) 。 注意力汇聚输出的形状为(批量大小,查询的步数,值的维度)。

queries,keys = torch.normal(0,1,size=(2,1,20)),torch.ones(size=(2,10,2))
# values的小批量,两个值矩阵是相同的
values = torch.arange(40,dtype=torch.float32).reshape(1,10,4).repeat(2,1,1)
valid_lens = torch.tensor([2,6])
additiveAttention = AdditiveAttention(query_size=20,key_size=2,num_hiddens=8,dropout=0.1)
additiveAttention.eval() #eval状态下使dropout无效
additiveAttention(queries,keys,values,valid_lens)
输出如下所示:
tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],

        [[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]], grad_fn=<BmmBackward0>)

尽管加性注意力包含了可学习的参数,但由于本例子中每个键都是相同的, 所以注意力权重是均匀的,由指定的有效长度决定,如下图所示。

d2l.torch.show_heatmaps(additiveAttention.attention_weights.reshape(1,1,2,10),xlabel='keys',ylabel='queries')

李沐动手学深度学习V2-注意力评分函数_第2张图片

4. 缩放点积注意力

使用点积可以得到计算效率更高的评分函数,但是点积操作要求查询和键具有相同的长度 d d d。假设查询和键的所有元素都是独立的随机变量,并且都满足零均值和单位方差,那么两个向量的点积的均值为 0 0 0,方差为 d d d。为确保无论向量长度如何,点积的方差在不考虑向量长度的情况下仍然是 1 1 1,需要将点积除以 d \sqrt{d} d (除以 d \sqrt{d} d 也就是缩放的含义),因此缩放点积注意力(scaled dot-product attention)评分函数为:
a ( q , k ) = q ⊤ k / d . a(\mathbf q, \mathbf k) = \mathbf{q}^\top \mathbf{k} /\sqrt{d}. a(q,k)=qk/d .

在实践中通常从小批量的角度来考虑提高效率,例如基于 n n n个查询和 m m m个键-值对计算注意力,其中查询和键的长度为 d d d,值的长度为 v v v。查询 Q ∈ R n × d \mathbf Q\in\mathbb R^{n\times d} QRn×d、键 K ∈ R m × d \mathbf K\in\mathbb R^{m\times d} KRm×d和值 V ∈ R m × v \mathbf V\in\mathbb R^{m\times v} VRm×v的缩放点积注意力是:

s o f t m a x ( Q K ⊤ d ) V ∈ R n × v . \mathrm{softmax}\left(\frac{\mathbf Q \mathbf K^\top }{\sqrt{d}}\right) \mathbf V \in \mathbb{R}^{n\times v}. softmax(d QK)VRn×v.

在缩放点积注意力的实现中,使用了暂退法进行模型正则化。

class DotProductAttention(nn.Module):
    """缩放点积注意力"""
    def __init__(self,dropout):
        super(DotProductAttention,self).__init__()
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)
    # queries的形状:(batch_size,查询的个数,d)
    # keys的形状:(batch_size,“键-值”对的个数,d)
    # values的形状:(batch_size,“键-值”对的个数,值的维度)
    # valid_lens的形状:(batch_size,)或者(batch_size,查询的个数)
    def forward(self,queries,keys,values,valid_lens):
        d = queries.shape[-1]
        # 设置transpose_b=True为了交换keys的最后两个维度
        #批量矩阵乘法
        scores = torch.bmm(queries,keys.transpose(1,2))/math.sqrt(d)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores,valid_lens)
        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights),values)

使用DotProductAttention类, 使用与先前加性注意力例子中相同的键、值和有效长度。 对于点积操作,令查询的特征维度与键的特征维度大小相同。

queries = torch.normal(0,1,size=(2,1,2))
dotProductAttention = DotProductAttention(dropout=0.1)
dotProductAttention.eval() #eval状态下使dropout无效
dotProductAttention(queries,keys,values,valid_lens)
输出结果如下:
tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],

        [[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]])

与加性注意力演示相同,由于键包含的是相同的元素,因此获得了均匀的注意力权重。

d2l.torch.show_heatmaps(dotProductAttention.attention_weights.reshape(1,1,2,10),xlabel='keys',ylabel='querys')

李沐动手学深度学习V2-注意力评分函数_第3张图片

5. 小结

  • 将注意力汇聚的输出计算可以作为值的加权平均,选择不同的注意力评分函数会带来不同的注意力汇聚操作。
  • 当查询和键是不同长度的矢量时,可以使用可加性注意力评分函数。当它们的长度相同时,使用缩放的“点-积”注意力评分函数的计算效率更高。(缩放是指:query和keys点积后需要除以keys最后一维维度的平方)

6. 全部代码

import torch
import d2l.torch
import math
from torch import nn


def masked_softmax(X, valid_lens):
    """通过在最后一个轴上掩蔽元素来执行softmax操作"""
    # X:3D张量,X也即是根据query和keys计算出来的attention分数,valid_lens:1D或2D张量,表示把与填充的keys计算出来的attention分数过滤掉,设置为很小的数-1e6,过滤掉后最后再进行计算softmax,使对填充的keys的attention权重为0
    shape = X.shape
    if valid_lens is None:
        return nn.functional.softmax(X, dim=-1)
    else:
        if valid_lens.dim() == 1:
            #valid_lens如果为1维则valid_lens第一个元素表示对X中第一个样本序列所有样本的valid_lens都是相同的,都是为valid_lens第一个元素长度
            valid_lens = torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1])
        else:
            valid_lens = valid_lens.reshape(-1)
        # 最后一轴上被掩蔽的元素使用一个非常大的负值替换,从而其softmax输出为0
        X = d2l.torch.sequence_mask(X.reshape(-1, shape[-1]), valid_lens, value=-1e6)
        return nn.functional.softmax(X.reshape(shape), dim=-1)


masked_softmax(torch.rand(size=(2, 2, 4)), valid_lens=torch.tensor([2, 3]))
masked_softmax(torch.rand(size=(2, 2, 4)), valid_lens=torch.tensor([[1, 3], [2, 4]]))


class AdditiveAttention(nn.Module):
    """加性注意力"""

    def __init__(self, key_size, query_size, num_hiddens, dropout):
        super(AdditiveAttention, self).__init__()
        self.W_q = nn.Linear(query_size, num_hiddens, bias=False)
        self.W_k = nn.Linear(key_size, num_hiddens, bias=False)
        self.W_v = nn.Linear(num_hiddens, 1, bias=False)
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

    def forward(self, queries, keys, values, valid_lens):
        queries = self.W_q(queries)
        keys = self.W_k(keys)
        # 在维度扩展后,
        # queries的形状:(batch_size,查询的个数,1,num_hidden)
        # key的形状:(batch_size,1,“键-值”对的个数,num_hiddens)
        # 使用广播方式进行求和
        features = queries.unsqueeze(2) + keys.unsqueeze(1)
        features = torch.tanh(features)
        # self.w_v仅有一个输出,因此从形状中移除最后那个维度。
        # scores的形状:(batch_size,查询的个数,“键-值”对的个数)
        scores = self.W_v(features)
        scores = scores.squeeze(-1)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)
        # values的形状:(batch_size,“键-值”对的个数,值的维度)
        #批量矩阵乘法
        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)


queries, keys = torch.normal(0, 1, size=(2, 1, 20)), torch.ones(size=(2, 10, 2))
# values的小批量,两个值矩阵是相同的
values = torch.arange(40, dtype=torch.float32).reshape(1, 10, 4).repeat(2, 1, 1)
valid_lens = torch.tensor([2, 6])
additiveAttention = AdditiveAttention(query_size=20, key_size=2, num_hiddens=8, dropout=0.1)
additiveAttention.eval()  #eval状态下使dropout无效
additiveAttention(queries, keys, values, valid_lens)
d2l.torch.show_heatmaps(additiveAttention.attention_weights.reshape(1, 1, 2, 10), xlabel='keys', ylabel='queries')


class DotProductAttention(nn.Module):
    """缩放点积注意力"""

    def __init__(self, dropout):
        super(DotProductAttention, self).__init__()
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

    # queries的形状:(batch_size,查询的个数,d)
    # keys的形状:(batch_size,“键-值”对的个数,d)
    # values的形状:(batch_size,“键-值”对的个数,值的维度)
    # valid_lens的形状:(batch_size,)或者(batch_size,查询的个数)
    def forward(self, queries, keys, values, valid_lens):
        d = queries.shape[-1]
        # 设置transpose_b=True为了交换keys的最后两个维度
        #批量矩阵乘法
        scores = torch.bmm(queries, keys.transpose(1, 2)) / math.sqrt(d)
        self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)
        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)


queries = torch.normal(0, 1, size=(2, 1, 2))
dotProductAttention = DotProductAttention(dropout=0.1)
dotProductAttention.eval()  #eval状态下使dropout无效
dotProductAttention(queries, keys, values, valid_lens)
d2l.torch.show_heatmaps(dotProductAttention.attention_weights.reshape(1, 1, 2, 10), xlabel='keys', ylabel='querys')

7. 相关链接

注意力机制第一篇:李沐动手学深度学习V2-注意力机制
注意力机制第二篇:李沐动手学深度学习V2-注意力评分函数
注意力机制第三篇:李沐动手学深度学习V2-基于注意力机制的seq2seq
注意力机制第四篇:李沐动手学深度学习V2-自注意力机制之位置编码
注意力机制第五篇:李沐动手学深度学习V2-自注意力机制
注意力机制第六篇:李沐动手学深度学习V2-多头注意力机制和代码实现

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