1252. 奇数值单元格的数目 : 简单计数模拟题

题目描述

这是 LeetCode 上的 1252. 奇数值单元格的数目 ,难度为 简单

Tag : 「模拟」、「位运算」、「计数」

给你一个 $m \times n$ 的矩阵,最开始的时候,每个单元格中的值都是 $0$。

另有一个二维索引数组 indices,$indices[i] = [r_i, c_i]$ 指向矩阵中的某个位置,其中 $r_i$ 和 $c_i$ 分别表示指定的行和列(从 $0$ 开始编号)。

对 $indices[i]$ 所指向的每个位置,应同时执行下述增量操作:

  • $r_i$ 行上的所有单元格,加 $1$ 。
  • $c_i$ 列上的所有单元格,加 $1$ 。

给你 $m$、$n$ 和 $indices$ 。请你在执行完所有 $indices$ 指定的增量操作后,返回矩阵中 奇数值单元格 的数目。

示例 1:
1252. 奇数值单元格的数目 : 简单计数模拟题_第1张图片

输入:m = 2, n = 3, indices = [[0,1],[1,1]]

输出:6

解释:最开始的矩阵是 [[0,0,0],[0,0,0]]。
第一次增量操作后得到 [[1,2,1],[0,1,0]]。
最后的矩阵是 [[1,3,1],[1,3,1]],里面有 6 个奇数。

示例 2:
1252. 奇数值单元格的数目 : 简单计数模拟题_第2张图片

输入:m = 2, n = 2, indices = [[1,1],[0,0]]

输出:0

解释:最后的矩阵是 [[2,2],[2,2]],里面没有奇数。

提示:

  • $1 <= m, n <= 50$
  • $1 <= indices.length <= 100$
  • $0 <= r_i < m$
  • $0 <= c_i < n$

进阶:你可以设计一个时间复杂度为 $O(n + m + indices.length)$ 且仅用 $O(n + m)$ 额外空间的算法来解决此问题吗?


基本分析

容易想到时间复杂度为 $O(l + m \times n)$,空间复杂度为 $O(m + n)$ 的做法,在此不再赘述。

对于某个位置最终累加值为奇数的充要条件为「所在行被累加次数的奇偶性」与「所在列被累加次数的奇偶性」不同。

因此我们可以统计累加次数为奇数的行数 $a$(累加次数为偶数的行数为 $m - a$),累加次数为奇数的列数 $b$(累加次数为偶数的列数为 $n - b$),根据乘法原理,最终答案为 $a \times (n - b) + (m - a) \times b$。

计数模拟

由于我们只需关系某个位置的奇偶性,而不关心具体的累加值,我们可以创建两个数组 rc,统计每行和每列的累加值的奇偶性。

当 $r[idx]$ 为 True 含义为第 $idx$ 行的累加值为奇数,否则为偶数。列数组 c 的统计规则同理。

代码:

class Solution {
    public int oddCells(int m, int n, int[][] ins) {
        boolean[] r = new boolean[m], c = new boolean[n];
        int a = 0, b = 0;
        for (int[] info : ins) {
            a += (r[info[0]] = !r[info[0]]) ? 1 : -1;
            b += (c[info[1]] = !c[info[1]]) ? 1 : -1;
        }
        return a * (n - b) + (m - a) * b;
    }
}
  • 时间复杂度:构建计数数组的复杂度为 $O(m + n)$,统计奇数行和奇数列复杂度为 $O(l)$,其中 $l$ 为数组 ins 的长度,复杂度为 $O(m + n + l)$
  • 空间复杂度:$O(m + n)$

位运算

更进一步,我们可以使用两个 long 变量 $c1$ 和 $c2$ 来分别充当行和列的计数数组,当 $c1$ 的第 $k$ 位为 $1$,代表第 $k$ 行累加值为奇数,当 $c1$ 的第 $k$ 位为 $0$,代表第 $k$ 行累加值为偶数;$c2$ 的计数规则同理。而翻转二进制中的某一位可使用「异或」操作。

当处理完所有的 ins 之后,可通过「遍历 $c1$ 的低 $m$ 位 + 遍历 $c2$ 的低 $n$ 位」来得到行数中奇数个数 $a$,列数中奇数个数 $b$,复杂度为 $O(m + n)$;也使用 bitCount 统计 long 二进制数中 $1$ 的个数(本质是分治操作),复杂度为 $O(\log{64})$。

代码:

class Solution {
    public int oddCells(int m, int n, int[][] ins) {
        long c1 = 0, c2 = 0;
        for (int[] info : ins) {
            c1 ^= 1L << info[0];
            c2 ^= 1L << info[1];
        }
        int a = 0, b = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) a += ((c1 >> i) & 1);
        for (int i = 0; i < n; i++) b += ((c2 >> i) & 1);
        return a * (n - b) + (m - a) * b;
    }
}

-

class Solution {
    public int oddCells(int m, int n, int[][] ins) {
        long c1 = 0, c2 = 0;
        for (int[] info : ins) {
            c1 ^= 1L << info[0];
            c2 ^= 1L << info[1];
        }
        int a = Long.bitCount(c1), b = Long.bitCount(c2);
        return a * (n - b) + (m - a) * b;
    }
}
  • 时间复杂度:处理所有的 ins 复杂度为 $O(l)$,其中 $l$ 为数组 ins 的长度;使用遍历方式统计奇数行和奇数列个数复杂度为 $O(m + n)$;使用 bitCount 操作统计二进制中 $1$ 个数,复杂度为 $O(\log{C})$,其中 $C = 64$ 为 long 二进制数长度,整体复杂度为 $O(l + m + n)$ 或 $O(l + \log{C})$
  • 空间复杂度:$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1252 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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