3D数学基础:图形和游戏开发(第2版)第1章笔记

第1章 笛卡儿坐标系

  • 1.1一维数学
  • 1.2 二维笛卡儿空间
  • 1.3 三维笛卡儿空间
  • 1.4 一些零散的基础知识介绍

第1.1节回顾了数学系统的一些基本原理和计算机图形学第一定律。
第1.2节介绍二维笛卡尔数学(二维数学)。它展示了如何描述二维笛卡尔坐标空间以及如何使用该空间定位点。
第1.3节将这些思想扩展到三个维度中。它解释了左手和右手坐标空间,并建立了本书中使用的一些约定。

1.1一维数学

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对有理数的研究称为离散数学,对无理数的研究称为连续数学。
然而,事实是,无理数只不过是一种精致的虚构。正如任何有声望的物理学家都会告诉你,它们是一种相对无害的妄想。宇宙似乎不仅是离散的,而且是有限的。

由此可见,我们可以只用离散的数学来描述宇宙,并且只需要使用自然数的一个有限子集(很大,是的,但有限)。在某个地方,某个地方可能有一个外星文明,他们的技术水平超过了我们,他们从未听说过连续数学、微积分基本定理,甚至从未听说过无限的概念;即使我们坚持,他们也会坚定而礼貌地坚持不使用π,他们非常乐意使用3.14159来建造面包机、桥梁、摩天大楼、公共交通和星际飞船(如果他们很挑剔的话,可能是3.1415926535897932384626433832795)。

那么我们为什么要用连续数学呢?因为它是一个有用的工具,让我们做工程。但现实世界是离散的,这对你这个3D电脑生成虚拟现实的设计师有什么影响?就其本质而言,计算机是离散和有限的。

计算机图形学的第一定律

如果它看起来是对的,它就是对的。

1.2 二维笛卡儿空间

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  • 每一个二维笛卡尔坐标空间都有两条穿过原点的直线。每条线被称为轴,并向两个相反的方向无限延伸。
  • 这两个轴互相垂直。(实际上,它们不一定是,但我们将会看到的大多数坐标系都有垂直的坐标轴)。
  • 无论我们为x轴和y轴选择什么方向,我们总是可以旋转(或镜像)坐标空间,使+x点在我们的右边,+y点在上面。在任何情况下,这些旋转都不会扭曲坐标系的原始形状(即使我们可能是倒过来或颠倒过来看)。

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计算机屏幕坐标系
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1.3 三维笛卡儿空间

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左手坐标系
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右手坐标系
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左手规则(朝四个手指方向为顺时针旋转)
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右手规则(朝四个手指方向为顺时针旋转)
3D数学基础:图形和游戏开发(第2版)这本书使用的是左手坐标系和左手规则。

1.4 一些零散的基础知识介绍

求和符号
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求积记号
在这里插入图片描述

区间符号

[a, b]:a <= x <= b
(a, b):a < x < b

“[”,“]”:闭区间
“(”,“)”:开区间

角度,角度和弧度
在这里插入图片描述

三角函数
用单位圆定义正弦和余弦

cos θ = x
sin θ = y

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勾股定理:缩写hyp、adj和opp分别表示斜边、和的长度
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可以将斜边hyp = r,邻边adj = x,对边opp = y,则
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与对称性相关的基本恒等式
在这里插入图片描述
三角函数常见的值
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勾股定理
在这里插入图片描述
毕达哥拉斯恒等式
在这里插入图片描述

和&差恒等式
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二倍角公式
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正弦定律
在这里插入图片描述
余弦定律
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