【数据结构与算法】——时间复杂度和空间复杂度

算法的时间复杂度和空间复杂度

  • 算法效率
  • 时间复杂度
    • 时间复杂度的概念
    • 时间复杂度计算案例
        • 案例一
        • 案例二
        • 案例三
        • 案例四
        • 案例五
        • 案例六
        • 案例七
        • 案例八
  • 空间复杂度
    • 实例
  • 复杂度的练习
    • 消失的数字
    • 旋转数组

算法效率

衡量一个算法的好坏需要看这个算法的效率,而算法的效率由时间空间两个维度来衡量,即时间复杂度空间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法运行的快慢,空间复杂度衡量算法运行所需要的额外空间。

时间复杂度

时间复杂度的概念

在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数,它定量描述了该算法的运行时间,一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例,算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度,用大O的渐进表示法表示,这是一种估算表示法。

推倒大O阶的方法

  1. 用常数1代替运行时间中所有的加法常数
  2. 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项
  3. 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶数

例1
请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次?


void Func1(int N) {
int count = 0;
//代码1:
for (int i = 0; i < N ; ++ i) {
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
//代码2:
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) {
 ++count; }
int M = 10;
//代码3:
while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

代码1中,++count 执行了 N*N 次
代码2中,++count 执行了 2 * N 次
代码3中,++count 执行了10 次
所以Func函数中,++count 共执行了F(N) = N * N + 2 * N + 10 次
用大O渐进表示法后,Func1()的时间复杂度为O(N^2)

有些算法的复杂度存在最好、最坏和平均的情况
最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)
最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)
平均情况:任意输入规模的期望运行次数

比如在一个长度为N的数组中搜索一个数据x
最好情况:一次就找到
最坏情况:N次找到
平均情况:N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况,所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

时间复杂度计算案例

案例一

计算Func(2)的时间按复杂度

void Func2(int N) {
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

第一个循环执行了2 * N 次,第二个循环执行了10次 时间复杂度为O(N)

案例二

void Func4(int N) {
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

循环一共运行100次,为常数次,时间复杂度为O(1)

案例三

void Func3(int N, int M) {
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

两个循环共运行M+N次,所以时间复杂度为O(M+N)
若M>>N,则时间复杂度为O(M)
若M< 若M和N差不多大,则时间复杂度为O(M+N)

案例四

// 计算strchr的时间复杂度?
const char * strchr ( const char * str, int character );

strchr是一个在字符串中查找某个字符的算法,在一个字符串中查找一个字符,一定要遍历整个字符串,那么上界是N,下界是1,平均为N/2,则时间复杂度为O(N)

案例五

计算BubbleSort的时间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n) {
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

这是一个冒泡排序算法,最坏的情况为运行 (n-1) + (n-2) + … + 2 + 1 次
求和为n * (n - 1) / 2 次
则时间复杂度为O(N ^2)

案例六

计算BinarySearch的时间复杂度

int BinarySearch(int* a, int n, int x) {
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 while (begin < end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid;
 else
 return mid;
 }
 return -1; }

【数据结构与算法】——时间复杂度和空间复杂度_第1张图片

这是一个二分查找的算法,最坏的情况是一直找,一直分,直到剩1个数字就不再分为止。于是有 N/2/2/2/2/2/…/2 = 1 假设一共除了n次2,那么N/2n = 1,n = log2N , 所以时间复杂度为O(log2N)

案例七

计算阶乘递归Fac的时间复杂度

long long Fac(size_t N) {
 if(0 == N)
 return 1;
 return Fac(N-1)*N; }

F(N) = N * F(N - 1)
F(N - 1) = (N - 1) * F(N - 2)
F(N - 2) = (N - 2) * F(N - 3)
… …

F(1) = 1
一共递归了N次,所以时间复杂度为O(N)

案例八

计算斐波那契递归Fib的时间复杂度

计算斐波那契递归Fib的时间复杂度?
long long Fib(size_t N) {
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

【数据结构与算法】——时间复杂度和空间复杂度_第2张图片

共调用 20 + 21 + …+2(N-2) 次 , 时间复杂度为O(2N)

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式,是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度,算的是变量的个数,也使用大O渐进表示法。

实例

实例1:
计算BubbleSort 的空间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n) {
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end) 
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
 }

该算法共创建了 exchange , i ,end 三个变量,为常数,时间复杂度为O(1)

实例2:

long long* Fibonacci(size_t n) {
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray; }

共在堆区额外开辟了(n+1)* 8字节的空间,其他都是常数次,所以空间复杂度为O(N)

实例三:

long long Fac(size_t N) {
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N; }

共递归了N次,每次在栈区开辟常数个空间,所以空间复杂度为O(N)

复杂度的练习

消失的数字

数组nums包含从0到n的所有整数,但其中缺了一个。请编写代码找出那个缺失的整数。你有办法在O(n)时间内完成吗?

方法一:将所有数字从小到大排序,判断上一个数+1是否等于下一个数,不等于,就找出该数字,但是冒泡排序的时间复杂度不符合O(N),该方法不行
方法二:将0到n所有数字求和,然后减去已知所有数字和得到所求数字,时间复杂度为O(N)

int missingNumber(int* nums, int numsSize){
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i< numsSize+1;i++)
    {
        sum+=i;
    }
    for(int i = 0;i <numsSize;i++)
    {
        sum-=nums[i];
    }
    return sum;
}

方法三:用异或的方法。首先我们应该知道,n ^ 0 = n,n ^ n = 0,a ^ b ^ c = a ^ c ^ b,那么先用0将数组中的元素都异或一边,然后在将所得到的结果与0到n之间的数再异或一遍,这时,出现两次的数字异或之后为0,最后得到的就是所求的数字

 int x=0;
    for(int i=0;i<numsSize;++i)
    {
        x^=nums[i];
    }
    for(int i=0;i<=numsSize;++i)
    {
        x^=i;
    }
    return x;

旋转数组

给你一个数组,将数组中的元素向右轮转 k 个位置,其中 k 是非负数

方法一:数组中的元素向右轮转K个位置,那么第i个元素轮转后,新的位置为(i+k)%numsSize

nt newnums[numsSize] = 0;
	for (int i = 0; i < numsSize; i++)
	{
		newnums[(i + k) % numsSize] = nums[i];
	}
	for (int i = 0; i < numsSize; i++)
	{
		nums[i] = newnums[i];
	}
	

方法二:

【数据结构与算法】——时间复杂度和空间复杂度_第3张图片

void reverse(int* nums,int begin,int end)
{
    while(begin<end)
    {
        int tmp=0;
        tmp=nums[begin];
        nums[begin]=nums[end];
        nums[end]=tmp;
        ++begin;
        --end;
    }
}

void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
    reverse(nums,0,numsSize-k%numsSize-1);
    reverse(nums,numsSize-k%numsSize,numsSize-1);
    reverse(nums,0,numsSize-1);
    
}

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