ACM. HJ107 求解立方根 ●●

HJ107 求解立方根 ●●

描述

计算一个浮点数的立方根,不使用库函数。
保留一位小数。

数据范围: ∣ v a l ∣ ≤ 20 ∣val∣≤20 val20

输入描述:

待求解参数,为double类型(一个实数)

输出描述:

输出参数的立方根。保留一位小数。

示例

输入:19.9
输出:2.7

题解

1. 二分查找

二分法查找,关键在于确定初始的查找边界,有以下几种情况:

  1. x>1,x的立方根的范围为[1,x]。
  2. -1
  3. x<-1,x的立方根范围[x,-1]。

如果输入的 x>1,那么立方根一定在 1 到 x 之间,这是有序的,我们可以用二分法查找这之间三次方接近于 x 的值,当区间范围不超过0.01表示找到了这个值。
ACM. HJ107 求解立方根 ●●_第1张图片

  • 时间复杂度: O ( ( l o g 2 n ) k ) O((log_2n)^k) O((log2n)k),二分法的复杂度为 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n),但是这里的 k 不确定,与精度有关
  • 空间复杂度:O(1),无额外空间
#include 
using namespace std;

int main(){
    double num = 0;
    cin >> num;
    double left = min(-1.0, num);
    double right = max(1.0, num);        
    double mid = 0;
    while(abs(right - left) > 0.01){     // 控制精度,保留一位小数,精确到0.01即可
        mid = (right + left) / 2;        // 二分    
        if(mid * mid * mid > num){
            right = mid;
        }else if(mid * mid * mid < num){
            left = mid;
        }else{
            printf("%.1f", mid);
        }
    }
    printf("%.1lf", mid);        // 保留一位小数输出
    return 0;
}

2. 牛顿迭代法

设方程 f ( x ) = x 3 − y f(x)=x^3-y f(x)=x3y,当 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0时的解 x 就是 y 的立方根。根据牛顿迭代法,我们有 x = x − ( x 3 − y ) / ( 3 ∗ x 2 ) x=x-(x^3-y)/(3*x^2) x=x(x3y)/(3x2),我们只需要控制 x 3 x^3 x3和 y 的精度在一定范围之内迭代即可。

  • 时间复杂度: O ( ( l o g 2 n ) k ) O((log_2n)^k) O((log2n)k),牛顿迭代法时间复杂度与 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)有关,但是这里的 k 不确定,与精度有关
  • 空间复杂度:O(1),无额外空间
#include
#include
using namespace std;
 
double cal(double x){ // 牛顿迭代法
    double y = 1;
    while(((y * y * y - x) >= 1e-2) || (x - y * y * y) >= 1e-2) //精度控制
        y = (y - y / 3 + x / (3 * y * y));
    return y;
}
 
int main(){
    double val;
    while(cin >> val){
        cout << setprecision(1) << fixed << cal(val) << endl; //控制小数位输出
    }
    return 0;
}

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