【动态规划】多段图最短路径(动图演示)

写在前面:

多段图是一个有向的无环图。求解从起始点v0到终止点的最短路径的长度, 首先看一下这个问题是否具有最优子结构的性质。对于每一点来说,从v0 到它的最短路径有两种可能,分别是从v0直接到该点或者是从最短的前驱 节点开始到该节点。从这里可以看出有递归的性质,所以使用回溯的方法 也是可以解决的。即从终点开始,依次向前找到最短的路径。由于递归本 身所用的时间较长,并且在回溯的过程中存在重复的工作,所以使用动态规划更好。

动图演示:【动态规划】多段图最短路径(动图演示)_第1张图片

 

 

多段图: 假设图G=(V,E)是一个带权的有向图,如果可以把顶点集合V划分为k(2<=k<=n)个互不相交的子集Vi(1<=i<=k),其中V1和Vk分别只有一个顶点s(源点)和一个顶点t(终点)。每组子集的顶点都互不相交,即u∈Vi(始点)与v∈Vi+1(终点)互不相交,且边(u,v)有一个正权重值,这种图称为多段图。 多段图的最短路径问题:

【动态规划】多段图最短路径(动图演示)_第2张图片

 

目录

一.创建多段图

二.证明满足最优性原理

三.设置子问题


 

 

一.创建多段图

 

1.根据邻接矩阵创建多段图。

2.划分子集:因为多段图可以将顶点划分为k个互不相交的子集,所以将它划分为k段,每段都包含顶点,且每段的顶点互不相交。

3.为每个顶点编号,同一子集的顶点顺序无关紧要。源点s为0,终点t为n-1。

 

 

二.证明满足最优性原理

设s,s,s1,s2,……,sp,t是s到t的一条最短路径,且s到s1的路径已经求出,则问题转为s1到t的最短路径,因此s1,s2,……,sp,t构成一条最短路径,如果不是,则设s1,r1,r2,……,rp,t是一条从s1到t的最短路径,则s,s1,r1,r2,……,rp,t是一条从s到t的最短路径且比s,s1,s2,……,sp,t短,因此矛盾,则满足最优性原理。

 

三.设置子问题

自顶向下 对多段图的边(u,v),用c表示边上的权值,将从源点s到终点t的最短路径记为d(s,t),则从源点0到终点9的最短路径d(0,9)由下式确定:

d(0,9)=min{c01+d(1,9),c02+d(2,9),c03+d(3,9)}

这是最后一个阶段的决策,它依赖于d(1,9)、d(2,9)和d(3,9)的计算结果。

d(1,9)=min{c14+d(4,9),c15+d(5,9)}

d(2,9)=min{c24+d(4,9),c25+d(5,9),c26+d(6,9)}

d(3,9)=min{c35+d(5,9),c36+d(6,9)}

这一阶段的决策又依赖于d(4,9)、d(5,9)和d(6,9)的计算结果。

d(4,9)=min{c47+d(7,9),c48+d(8,9)}

d(5,9)=min{c57+d(7,9),c58+d(8,9)}

d(6,9)=min{c67+d(7,9),c68+d(8,9)}

这一阶段的决策依赖于d(7,9)和d(8,9)的计算。

d(7,9)和d(8,9)可以直接获得(括号中给出了决策产生的状态转移):

d(7,9)=c79=7(7→9)

d(8,9)=C89=3(8→9)

自底向上 反向求解出最短的路径,得到:最短路径为0→3→5→8→9,长度为16。 

 

 

建立多段图的邻接矩阵:

int CreatGraph()
{
  int i, j, k;
  int weight;
  int vnum, arcnum;
  printf("请输入顶点的个数:");
  scanf_s("%d", &vnum);
  printf("请输入边的个数:");
  scanf_s("%d",&arcnum);
  for (i= 0; i < vnum; i++)
    for (j = 0; j < vnum; j++)
      arc[i][j] = MAX;
  for (k = 0; k < arcnum; k++)
  {
    printf("请输入边的两个顶点和权值:");
    scanf_s("%d,%d,%d", &i, &j, &weight);
    arc[i][j] = weight;
  }
  return vnum;
}

【动态规划】多段图最短路径(动图演示)_第3张图片

【动态规划】多段图最短路径(动图演示)_第4张图片

 

下标

1

2

3

4

5

6

7

8

9

cost[n]

元素值

4

2

3

8

7

10

13

13

16

path[n]

状态

0→1

0→2

0→3

2→4

3→5

2→6

4→7

5→8

8→9

 

 

 

 代码:

int BackPath(int n)
{
  int i, j;
  int cost[N], path[N];
  for (i = 1; i < n; i++)
  {
    cost[i] = MAX;
    path[i] = -1;
  }
  cost[0] = 0;
  path[0] = -1;
  
for (j = 1; j < n; j++)
  {
    for (i = j - 1; i >= 0; i--)
    {
      if (arc[i][j] + cost[i] < cost[j])
      {
        cost[j] = arc[i][j] + cost[i];
        path[j] = i;
      }
    }
  }
printf("%d", n - 1);
i = n - 1;
while (path[i] >= 0)
{
printf("<-%d", path[i]);
i = path[i];
}
return cost[n - 1];
}

 

 

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