2022 年第二届长三角高校数学建模竞赛

C 题 隧道的升级改造与设计

某地现存一旧式双洞隧道,现计划将该隧道在旧貌基础上升级改造。在升级 改造前,需进行定标与设计。考虑到该隧道洞壁附着特殊涂料,无人机在洞内通 信信号较差,实地测量存在人身安全风险,建设指挥部已经通过某种技术手段得 到该隧道从正上方俯拍的 CAD 航拍图(图 1,更清晰图像见附件 1)。现计划通 过数学建模方法进行每个洞的中轴线的百米定标、安全评估与设计改造。

图1为隧道正上方俯拍图,即二维X-Z平面图。左洞起点坐标为A(91, 7, 349), 左洞终点坐标为 B(-617, 48, -1672),单位为米(下同);右洞起点坐标为 C(134, 7, 357),右洞终点坐标为 D(-580, 48, -1685)。左洞行车方向为 AB,右洞行车方向 为 DC。起点和终点均落在隧道单洞中轴线上。附件 2 是测得的隧道中轴线的 Z-Y 高程数据。为安全起见,在修建过程中,该隧道的坡度一般不大于 3%;同时为 利于排水,坡度一般不小于 0.3%。其中,坡度 a%指的是沿着 Z 方向每前进 1 米, Y 方向上升或下降 a%米。此外,为防止降雨天气对安全造成影响,隧道应尽量 避免有积水区域。X、Y、Z 坐标轴方向参照图 1 中标示。请建立数学模型,解 决以下问题:

1、建立隧道左右两洞的中轴线空间定标模型,计算左右两个隧道的长度,

并给出左右两个隧道的百米定标。

2、根据隧道的空间定标和隧道建设安全要求,量化评

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