综合评价法——秩和比(RSR)

一、背景介绍

秩和比法,是我国统计学家田凤调教授于1988年提出的一种综合评价方法,是利用秩和比(RSR, Rank-sum ratio)进行统计分析的一种方法。它不仅适用于四格表资料的综合评价,也适用于n行m列资料的综合评价,同时也适用于计量资料和分类资料的综合评价。

该方法在医疗卫生、科技、经济等领域的多指标综合评价、统计预测预报、统计质量控制、鉴别分类等方面已得到广泛的应用。

二、原理及优缺点

原理:秩和比综合评价法基本原理是在一个n行m列,通过秩的转换,获得无量纲统计量RSR;然后运用参数统计分析的概念与方法、研究RSR的分布;以RSR值对评价对象的优劣进行分档排序,从而对评价对象做出综合评价。

优点:是非参数统计分析,对指标的选择无特殊要求,适于各种评价对象;由于计算用的数值是秩次,可以消除异常值的干扰,它融合了参数分析的方法,结果比单纯采用非参数法更为精确,既可以直接排序,又可以分档排序,使用范围广泛。

缺点:是排序的主要依据是利用原始数据的秩次,最终算得的RSR值反映的是综合秩次的差距,而与原始数据的顺位间的差距程度大小无关,这样在指标转化为秩次是会失去一些原始数据的信息,如原始数据的大小差别等。

当RSR值实际说不满足正态分布时,分档归类的结果与实际情况会有偏差,且只能回答分级程度是否有差别,不能进一步回答具体的差别情况。

三、算法步骤

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是从一元总体抽取的容量为n的样本,并按从小到大的顺序排列,设其统计量为

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,则称k是xi在样本中的秩,记作Ri,对每一个i=1,2,...,n,称Ri是第i个秩统计量。R1,R2,...,Rn总称为秩统计量。

3.1编秩

编秩方法有整次秩和比法和非整次秩和比法。二者在于计算秩的时候公式不一样。一般使用整次和比法。

3.1.1整次秩和比法

设有n个评价对象,m个评价指标的样本数据(n行m列),分别对每个指标列的数据编秩:正向指标(值越大越好)从小到大编秩,负向指标(值越小越好)从大到小编秩,当数据的值相同时编平均秩。得到秩矩阵R=(Rij)n×m。

注:编秩即对数据排序,其顺序号作为秩。

如下表:

对X3,按从小到大排序,其中值为75的有两个指标,按算术平均进行编秩:(2+3)/2=2.5

语文(X1) R1 数学(X2) R2 英语(X3) R3
66 1 80 4 70 1
85 4 75 3 75 2.5
79 2 62 1 85 4
84 3 93 5 90 5
87 5 77 2 75 2.5

3.1.2非整次秩和比法

用类似于线性插值的方式对指标值进行编秩,以改进RSR法编秩方法的不足,所以编秩次与原指标值之间存在定量的线性对应关系。

对于正向指标:

                        Rij=1+\left ( n-1 \right )\frac{X_{ij}-min\left ( X_{1j} ,X_{2j},...,X_{nj}\right )}{max\left ( X_{1j} ,X_{2j},...,X_{nj}\right )-min\left ( X_{1j} ,X_{2j},...,X_{nj}\right )}

对于负向指标:

                      R_{ij}=1+\left ( n-1 \right )\frac{max\left ( X_{1j} ,X_{2j},...,X_{nj}\right )-X_{ij}}{max\left ( X_{1j} ,X_{2j},...,X_{nj}\right )-min\left ( X_{1j} ,X_{2j},...,X_{nj}\right )}

3.2计算SRS、WRSR

在一个 n 行( n 个评价对象)m 列( m个评价指标)矩阵中,RSR的计算公式为:

                                          RSR_{i}=\frac{1}{nm}\sum_{j=1}^{m}R_{ij} 

上式中,i=1,2,...,n;j=1,2,...,m,R_{ij}表示第 i 行 第 j 列元素的秩。

当个评价指标的权重不同时,计算加权秩和比为WRSR,其计算公式为:

                                          WRSR_{i}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}w_{j}R_{ij}

上式中,w_{j}为第j个指标的权重,且  \sum_{j=1}^{m}w_{j}=1

3.3计算概率单位

按小到大的顺序编制RSR或者WRSR频率分布表,列出各组频数fi,计算各组累计频数Fi,计算累计频率pi=Fi/n,将pi转换为概率单位probiti。

3.4计算回归方程

以累计频率所对应的概率单位值 Probit 为自变量,以RSRi或者WRSRi值为因变量,计算回归方程:

                                              RSR\left ( WRSR \right )=a+b\times probit

可利用最小二乘法求出相当应参数。

3.5分档排序

按回归方程计算的RSR/WRSR估计值,对评价对象进行分档排序。分档数由研究者根据实际情况决定。一般档次数量为 3档 ,也可以是 4挡、5挡。

四、案例

以基金投资案例说明,选取5个指标对基金投资进行评价。

其中X1,X2,X3为正向指标(效益型指标),值越大越好,排序时从小到大排。

​ X4,X5为负向指标(成本型指标),值越低越好,排序时从大到小排。

x1 x2 x3 x4 x5
1 34100 0.999091 0.98 0.971793 0.002727
2 22630 0.673973 0.673973 1 0
3 5766 0.774194 0.774194 0.993056 0
4 34565 0.910314 0.896861 0.796059 0.006278
5 13206 0.680751 0.664319 0.772586 0.00939
6 34100 0.831567 0.804476 0.805949 0.014134
7 45200 0.836852 0.807654 0.899654 0.000912
8 79560 1 0.9365 0.99352 0.2187

 程序如下所示:

clc,clear
a=load('shuju.txt');%该数据横向是指标,纵向是指标每年的数据
w=[0.2 0.3 0.2 0.2 0.1];%假设求得的权重
a(:,[3,5])=-a(:,[3,5]);
%这里的3,4,5指标为负向指标,也就是指标值越小越好,为与正向指标同步,因此这里乘以个负号
ra=tiedrank(a);
%[R, tie] = tie(X)计算向量X中值的秩,如果有任何X值被束缚,tie计算它们的平均秩。
%返回值是对非参数测试信号秩和ranksum所要求的关系的调整,以及对Spearman秩相关的计算。
%例子:从最小到最大,两个20的值是2和3,所以它们都是2。5(平均2和3):
%tiedrank([10 20 30 40 20])
%ans =1.0000    2.5000    4.0000    5.0000    2.5000 
[n,m]=size(ra);%求矩阵维度
RSR=mean(ra,2)/n;
%mean求数组的平均数或者均值
%mean(A,2)返回值为该矩阵的各行向量的均值(每行的平均值)
W=repmat(w,[n,1]);%用于复制平铺矩阵,相当于讲w矩阵看成一个元素,形成n×1维的矩阵并用W矩阵记录
WRSR=sum(ra.*W,2)/n;
[sWRSR,ind]=sort(WRSR);%sort为排序函数
p=[1:n]/n;
p(end)=0.99999;
%p(end)=1-1/(4*n);
Probit=norminv(p,0,1);
%norminv函数,正态分布概率值, X = NORMINV(P,A,S) ,其中,P取概率。A取均值。S取方差。
%然后返回值X就是指满足均值为A,方差为S的高斯分布的累计概率密度值。即F(a)=P,返回值就是a。
%至于F的含义:对连续函数,所有小于等于a的值,其出现概率的和为F(a)=P(x

结果:

5 0.4669 8
6 0.4939 7
3 0.5141 6
4 0.5322 5
2 0.5503 4
1 0.5705 3
7 0.5976 2
8 0.7744 1

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