计算机视觉教程0-4:手推张正友标定法,详解图像去畸变(附代码)

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目录

  • 1 相机为什么要标定?
  • 2 反解相机矩阵
  • 3 反解畸变系数
  • 4 去畸变原理与实战

1 相机为什么要标定?

直接给结论:相机标定的目的是为了获得相机矩阵和畸变系数。这部分内容可以参考计算机视觉教程0-3:为何拍照会有死亡视角?详解相机矩阵与畸变。获得了相机矩阵和畸变系数后就能进行更高级的应用,主要应用于立体视觉领域,例如视觉SLAM、三维导航、双目测距等,总之,相机标定相当重要。

相机标定的经典方法是张正友标定法,需要下面的张正友标定板。本节将详细地从底层数学原理推导张正友标定法。

计算机视觉教程0-4:手推张正友标定法,详解图像去畸变(附代码)_第1张图片

2 反解相机矩阵

不考虑畸变,对图像中标定板角点进行检测,得到角点像素坐标值 [ u v 1 ] T \left[ \begin{matrix} u& v& 1\\\end{matrix} \right] ^T [uv1]T,根据已知棋盘格大小,计算世界坐标系下标定板角点的世界坐标值 [ W  ⁣  ⁣ X W  ⁣  ⁣ ⁣  ⁣  Y W  ⁣  ⁣ Z 1 ] T \left[ \begin{matrix} ^{\boldsymbol{W}\!}\!X& ^{\boldsymbol{W}\!}\!\!\:\!\:Y& ^{\boldsymbol{W}\!}\!Z& 1\\\end{matrix} \right] ^T [WXWYWZ1]T,此时从世界坐标到像素坐标的映射为

[ u ^ v ^ 1 ] = K [ W C    ⁣ ⁣ ⁣ R C  ⁣ p w 0 ] [ W  ⁣  ⁣ X W  ⁣  ⁣ ⁣  ⁣  Y W  ⁣  ⁣ Z 1 ] \left[ \begin{array}{c} \hat{u}\\ \hat{v}\\ 1\\\end{array} \right] =\boldsymbol{K}\left[ \begin{matrix} _{\boldsymbol{W}}^{\boldsymbol{C}}\;\!\!\!\boldsymbol{R}& ^{\boldsymbol{C}}\!\boldsymbol{p}_{w_0}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} ^{\boldsymbol{W}\!}\!X\\ ^{\boldsymbol{W}\!}\!\!\:\!\:Y\\ ^{\boldsymbol{W}\!}\!Z\\ 1\\\end{array} \right] u^v^1=K[WCRCpw0]WXWYWZ1

通常将世界坐标系与标定板固连使 W  ⁣  ⁣ Z = 0 ^{\boldsymbol{W}\!}\!Z=0 WZ=0,如图所示

计算机视觉教程0-4:手推张正友标定法,详解图像去畸变(附代码)_第2张图片

此时映射关系简化为

[ u ^ v ^ 1 ] = K [ r 1 r 2 p ] [ W  ⁣  ⁣ X W  ⁣  ⁣ ⁣  ⁣  Y 1 ] \left[ \begin{array}{c} \hat{u}\\ \hat{v}\\ 1\\\end{array} \right] =\boldsymbol{K}\left[ \begin{matrix} \boldsymbol{r}_1& \boldsymbol{r}_2& \boldsymbol{p}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} ^{\boldsymbol{W}\!}\!X\\ ^{\boldsymbol{W}\!}\!\!\:\!\:Y\\ 1\\\end{array} \right] u^v^1=K[r1r2p]WXWY1

其中 r 1 \boldsymbol{r}_1 r1 r 2 \boldsymbol{r}_2 r2是旋转矩阵 W C    ⁣ ⁣ ⁣ R _{\boldsymbol{W}}^{\boldsymbol{C}}\;\!\!\!\boldsymbol{R} WCR的前两列。

设从标定板到成像平面的单应性矩阵为

H = [ h 11 h 12 h 13 h 21 h 22 h 23 h 31 h 32 h 33 ] = [ h 1 h 2 h 3 ] \boldsymbol{H}=\left[ \begin{matrix} h_{11}& h_{12}& h_{13}\\ h_{21}& h_{22}& h_{23}\\ h_{31}& h_{32}& h_{33}\\\end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \boldsymbol{h}_1& \boldsymbol{h}_2& \boldsymbol{h}_3\\\end{matrix} \right] H=h11h21h31h12h22h32h13h23h33=[h1h2h3]

这部分内容可以参考计算机视觉教程1-2:单应性矩阵估计

下面基于已知的 H \boldsymbol{H} H反解内参矩阵 K \boldsymbol{K} K,代入 h i = K r i ( i = 1 , 2 ) \boldsymbol{h}_i=\boldsymbol{Kr}_i\left( i=1,2 \right) hi=Kri(i=1,2)可得

{ h 1 T Q h 2 = 0 h 1 T Q h 1 = h 2 T Q h 2 = 1 \begin{cases} \boldsymbol{h}_{1}^{T}\boldsymbol{Qh}_2=0\\ \boldsymbol{h}_{1}^{T}\boldsymbol{Qh}_1=\boldsymbol{h}_{2}^{T}\boldsymbol{Qh}_2=1\\\end{cases} {h1TQh2=0h1TQh1=h2TQh2=1

其中对称矩阵 Q = K − T K − 1 \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{K}^{-T}\boldsymbol{K}^{-1} Q=KTK1

考虑到

h i T Q h j = [ h i 1 h i 2 h i 3 ] [ q 1 q 2 q 3 q 2 q 4 q 5 q 3 q 5 q 6 ] [ h j 1 h j 2 h j 3 ] = v i j T q \boldsymbol{h}_{i}^{T}\boldsymbol{Qh}_j=\left[ \begin{matrix} h_{i1}& h_{i2}& h_{i3}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} q_1& q_2& q_3\\ q_2& q_4& q_5\\ q_3& q_5& q_6\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} h_{j1}\\ h_{j2}\\ h_{j3}\\\end{array} \right] \\=\boldsymbol{v}_{ij}^{T}\boldsymbol{q} hiTQhj=[hi1hi2hi3]q1q2q3q2q4q5q3q5q6hj1hj2hj3=vijTq

可以改写为

[ v 12 T v 11 T − v 22 T ] q = 0 \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{v}_{12}^{T}\\ \boldsymbol{v}_{11}^{T}-\boldsymbol{v}_{22}^{T}\\\end{array} \right] \boldsymbol{q}=0 [v12Tv11Tv22T]q=0

其中矩阵 V \boldsymbol{V} V完全由已知的 H \boldsymbol{H} H导出, q \boldsymbol{q} q Q \boldsymbol{Q} Q的向量形式。由于一个 H \boldsymbol{H} H最多只能贡献两个线性方程,因此确定内参矩阵至少要3张标定板(工程上一般取15~20张为宜),这些方程共同构成 V q = 0 \boldsymbol{Vq}=0 Vq=0,可用计算机视觉教程1-2:单应性矩阵估计的基本DLT算法解算,解出来就是相机内参矩阵。

3 反解畸变系数

张氏标定法仅考虑畸变中影响较大的径向畸变而忽略切向畸变,用求得的内参矩阵反解畸变参数。

设无畸变像素坐标、成像平面坐标分别为 [ u ^ v ^ ] T \left[ \begin{matrix} \hat{u}& \hat{v}\\\end{matrix} \right] ^T [u^v^]T [ x ^ y ^ ] T \left[ \begin{matrix} \hat{x}& \hat{y}\\\end{matrix} \right] ^T [x^y^]T;有畸变像素坐标、成像平面坐标分别为 [ u v ] T \left[ \begin{matrix} u& v\\\end{matrix} \right] ^T [uv]T [ x y ] T \left[ \begin{matrix} x& y\\\end{matrix} \right] ^T [xy]T;设内参 s = 0 s=0 s=0,则

{ u = f u x + c u v = f v y + c v    { u ^ = f u x ^ + c u v ^ = f v y ^ + c v \begin{cases} u=f_ux+c_u\\ v=f_vy+c_v\\\end{cases}\,\, \begin{cases} \hat{u}=f_u\hat{x}+c_u\\ \hat{v}=f_v\hat{y}+c_v\\\end{cases} {u=fux+cuv=fvy+cv{u^=fux^+cuv^=fvy^+cv

两式相减,并代入 f u x = u − c u f_ux=u-c_u fux=ucu f v y = v − c v f_vy=v-c_v fvy=vcv以及径向畸变公式

{ x ^ = x ( 1 + κ 1 r 2 + κ 2 r 4 ) y ^ = y ( 1 + κ 1 r 2 + κ 2 r 4 ) \begin{cases} \hat{x}=x\left( 1+\kappa _1r^2+\kappa _2r^4 \right)\\ \hat{y}=y\left( 1+\kappa _1r^2+\kappa _2r^4 \right)\\\end{cases} {x^=x(1+κ1r2+κ2r4)y^=y(1+κ1r2+κ2r4)

即得

[ ( u − c u ) r 2 ( u − c u ) r 4 ( v − c v ) r 2 ( v − c v ) r 4 ] [ κ 1 κ 2 ] = [ u ^ − u v ^ − v ] \left[ \begin{matrix} \left( u-c_u \right) r^2& \left( u-c_u \right) r^4\\ \left( v-c_v \right) r^2& \left( v-c_v \right) r^4\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \kappa _1\\ \kappa _2\\\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \hat{u}-u\\ \hat{v}-v\\\end{array} \right] [(ucu)r2(vcv)r2(ucu)r4(vcv)r4][κ1κ2]=[u^uv^v]

考虑到

[ u ^ v ^ 1 ] = K [ W C    ⁣ ⁣ ⁣ R C  ⁣ p w 0 ] [ W  ⁣  ⁣ X W  ⁣  ⁣ ⁣  ⁣  Y W  ⁣  ⁣ Z 1 ] \left[ \begin{array}{c} \hat{u}\\ \hat{v}\\ 1\\\end{array} \right] =\boldsymbol{K}\left[ \begin{matrix} _{\boldsymbol{W}}^{\boldsymbol{C}}\;\!\!\!\boldsymbol{R}& ^{\boldsymbol{C}}\!\boldsymbol{p}_{w_0}\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} ^{\boldsymbol{W}\!}\!X\\ ^{\boldsymbol{W}\!}\!\!\:\!\:Y\\ ^{\boldsymbol{W}\!}\!Z\\ 1\\\end{array} \right] u^v^1=K[WCRCpw0]WXWYWZ1

对于 M M M幅标定板图片,每张图片取 N N N个角点,则可构造非齐次线性方程

D 2 M N × 2 κ = d 2 M N × 1 \boldsymbol{D}_{2MN\times 2}\boldsymbol{\kappa }=\boldsymbol{d}_{2MN\times 1} D2MN×2κ=d2MN×1

其中 κ = [ κ 1 κ 2 ] T \boldsymbol{\kappa }=\left[ \begin{matrix} \kappa _1& \kappa _2\\\end{matrix} \right] ^T κ=[κ1κ2]T即为畸变系数。通过最小二乘法进行回归

κ = ( D T D ) − 1 D T d {\boldsymbol{\kappa }=\left( \boldsymbol{D}^T\boldsymbol{D} \right) ^{-1}\boldsymbol{D}^T\boldsymbol{d}} κ=(DTD)1DTd

即得畸变系数

4 去畸变原理与实战

综合上面两节,给出去畸变的原理

  • 准备张氏标定法的标准棋盘格,用相机对其进行不同角度拍摄,得到一组图像
  • 忽略畸变,每张标定板可通过世界坐标与像素坐标的关系,求解二者间的单应性矩阵,用于反解相机内参矩阵;忽略切向畸变与内参矩阵误差,反解径向畸变参数
  • 利用L-M(Levenberg Marquardt)等非线性迭代优化算法对上述参数进行优化,得到最终的内参矩阵与畸变参数。

按照上面的原理,我们将相机标定与去畸变的代码写出来

/*
 * @breif:采用张氏标定法标定相机并生成标定文件.txt
 * @param[in]:folderPath->标定板图像集的文件夹路径;
 * @param[in]:boardSize->标定板上每行、列的内角点数;
 * @param[in]:realSizePerBox->实际测量的标定板棋盘格几何尺寸,与相机矩阵单位pix/mm对应,Unit:mm;
 * @param[in]:savePath->标定文件.txt的保存路径;
 * @retval:None
 */
void cameraCalibration(String folderPath, Size boardSize, Size realSizePerBox, String savePath)
{
	std::vector<cv::String> fileNames;						// 存放标定图片文件名的序列
	cv::glob(folderPath, fileNames);						// 将标定文件夹中的文件名读取到序列

	Mat cameraMatrix = Mat(3, 3, CV_32FC1, Scalar::all(0)); // 像机内参矩阵
	Mat distCoeffs = Mat(1, 5, CV_32FC1, Scalar::all(0));	// 像机畸变系数:k1,k2,p1,p2,k3
	vector<Mat> tvecsMat;									// 相机外参->旋转向量
	vector<Mat> rvecsMat;									// 相机外参->平移向量
	int imgCnt = 0;											// 图像数量
	vector<int> ptCnt;										// 图像中角点的数量
	Size imgSize;											// 图像尺寸
	vector<Point2f> imgPtBuffer;							// 缓存每幅图像上检测到的角点
	vector<vector<Point2f>> imgPtSequence;					// 检测到的所有角点序列,Unit:pix
	vector<vector<Point3f>> realImgPtSequence;				// 检测到的所有角点序列,Unit:mm
	double totalErr = 0.0;									// 所有图像的重投影误差和

	/*========================================= 像素平面角点坐标提取 =========================================================*/
	for (size_t i = 0; i < fileNames.size(); ++i)
	{
		imgCnt++;
		printf("read the number %d image\n", i+1);
		Mat imgInput = imread(fileNames[i]);
		ptCnt.push_back(boardSize.width * boardSize.height);	// 初始化每幅图像中的角点数量,假定每幅图像中都可看到完整标定板

		if (imgCnt == 1)								//读入第一张图片时获取图像宽高信息
		{
			imgSize.width = imgInput.cols;
			imgSize.height = imgInput.rows;
		}

		if (findChessboardCorners(imgInput, boardSize, imgPtBuffer) == 0)	// 提取ChessBoard类型角点
		{
			printf("can't find the corner point of image number %d, please check!\n", i);
			return;
		}
		else
		{
			Mat imgGray;
			cvtColor(imgInput, imgGray, CV_RGB2GRAY);	//图像灰度化
			find4QuadCornerSubpix(imgGray, imgPtBuffer, Size(11, 11));		//对粗提取的角点进行亚像素精确化
			imgPtSequence.push_back(imgPtBuffer);	
		}
	}

	/*========================================= 几何平面角点坐标提取 =========================================================*/
	for (int i = 0; i < imgCnt; i++)
	{
		vector<Point3f> tempPtSetPerImg;
		for (int j = 0; j < boardSize.height; j++)
		{
			for (int k = 0; k < boardSize.width; k++)
			{
				Point3f realPoint;
				realPoint.x = j * realSizePerBox.width;
				realPoint.y = k * realSizePerBox.height;
				realPoint.z = 0;						// 张氏标定法假设标定板放在世界坐标系中z=0的平面上
				tempPtSetPerImg.push_back(realPoint);
			}
		}
		realImgPtSequence.push_back(tempPtSetPerImg);
	}

	/*======================================== 相机标定与重投影误差计算 ======================================================*/
	calibrateCamera(realImgPtSequence, imgPtSequence, imgSize, cameraMatrix, distCoeffs, rvecsMat, tvecsMat);
	totalErr = calReprojectErr(realImgPtSequence, imgPtSequence, rvecsMat, tvecsMat, cameraMatrix, distCoeffs, ptCnt);
}

看看效果,只看标定格:

计算机视觉教程0-4:手推张正友标定法,详解图像去畸变(附代码)_第3张图片


计算机视觉基础教程说明

章号                                    内容
  0                              色彩空间与数字成像
  1                              计算机几何基础
  2                              图像增强、滤波、金字塔
  3                              图像特征提取
  4                              图像特征描述
  5                              图像特征匹配
  6                              立体视觉
  7                              项目实战

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