数据结构25:矩阵转置算法(三元组顺序表)

矩阵的转置实际上就是将数据元素的行标和列标互换,即 T(i,j) = M(j,i) 。例如:

数据结构25:矩阵转置算法(三元组顺序表)_第1张图片
 
图1 矩阵的转置
相应地,三元组表转变为:
数据结构25:矩阵转置算法(三元组顺序表)_第2张图片
 
图2 三元组表
矩阵的转置,经历了三个步骤:

  • 矩阵的行数 n 和列数 m 的值交换;
  • 将三元组中的i和j调换;
  • 转换之后的表同样按照行序(置换前的列序)为主序,进行排序;
实现三元组的转换,重点在第三步,实现算法有两种。
 

普通算法

普通算法的实现过程为:
  1. 将矩阵的行数和列数进行调换;
  2. 遍历表 a 的 j 列(查找 j 的值,从 1 一直到未转置之前的矩阵的列数 m ),遍历的过程,就可以自动存储为表 b 的形式。
因为在表 a 中 i 列的数值是从小到大的,在根据 j 列由上到下的遍历时, i 列同样也是有序的。
实现代码:
TSMatrix transposeMatrix(TSMatrix M, TSMatrix T)
{   
//行和列置换   T.m = M.n;   T.n = M.m;   T.num = M.num;   if (T.num)
  {     
int q = 0;     //依次遍历M矩阵的列(从1开始),的遍历的过程中将行标和列标置换,得到置换后的三元表T     for (int col=1; col<=M.m; col++)
    {       
for (int p=0; p)
      {         if (M.data[p].j == col)
        {           T.data[q].i
= M.data[p].j;           T.data[q].j = M.data[p].i;           T.data[q].data = M.data[p].data;           q++;         }       }     }   }
  
return T; }

 

此算法的时间复杂度关键在于嵌套的两个 for 循环,时间复杂度为 O(m*num),和矩阵的列数以及非 0 元素的个数的乘积成正比,如果稀疏矩阵的非 0 元素很多的情况,使用这个算法,虽然一定程度上节省了空间,但是时间复杂度会很高。

快速转置算法

快速转置算法在普通算法的基础上,对遍历存储的过程做了改进。

首先将每一列中非 0 元素的个数对应地存储在一个数组(数组名为array)中。在此基础上,计算出每一列第一个元素存放在三元组表中的位置,存储在数组(数组名为 cpot )中。
第一列第一个非 0 元素肯定存放在第一个位置,第二列第一个非 0 元素的位置 = 第一列存放的起始位置 + 第一列的非 0 元素个数,以此类推。

用图 2 中置换之前的表举例:

array 数组中的数据表示,第一列有一个非 0 元素,第二列中 3 个非0元素。
 

cpot 数组中的数据表示,第一列中第一个数据存储的位置默认是 1 ,第二列第一个非 0 元素存放的位置是 2。

计算方法是:cpot[col] = cpot[col-1] + array[col-1],即后边一列第一个非 0 元素存放的位置为前边一列第一个非 0 元素存放的位置加上该列非 0 元素的个数的和。
在以上两个数组的基础上,当遍历表 a 的 j 列时,根据每个元素 j 列的数值,就可以判断出它在表 b 中的存放位置,整个三元组表只需要遍历一次,就能实现矩阵的转置。

实现代码:
TSMatrix fastTransposeMatrix(TSMatrix M, TSMatrix T)
{   
//行和列置换   T.m = M.n;   T.n = M.m;   T.num = M.num;   if (T.num)
  {     
//创建并初始化array数组     int array[number];     for (int col=1; col<=M.m; col++)
    {       array[col]
=0;     }     for (int t=0; t)
    {       int j = M.data[t].j;       array[j]++;     }
    
//创建并初始化cpot数组     int cpot[T.m+1];     cpot[1]=1;  //第一列中第一个非0元素的位置默认为1     for (int col=2; col<=M.m; col++)
    {       cpot[col]
= cpot[col-1]+array[col-1];     }
    
for (int p=0; p)
    {       //提取当前三元组的列数       int col = M.data[p].j;       //根据列数和cpot数组,找到当前元素需要存放的位置       int q = cpot[col];       //转置矩阵的三元组默认从数组下标0开始,而得到的q值是单纯的位置,所以要减1       T.data[q-1].i = M.data[p].j;       T.data[q-1].j = M.data[p].i;       T.data[q-1].data = M.data[p].data;       //存放完成后,cpot数组对应的位置要+1,以便下次该列存储下一个三元组       cpot[col]++;     }   }
  
return T; }
这个算法中含有四个并列的单循环,时间复杂度为 O(m+num)(实际得到的是 O(2*m+2*num),当 m 和 num 足够大时,可以省略常数参数),即使最坏情况下,矩阵中的元素都是非 0 元素,时间负责度为 O(m*n)。称此算法为快速转置算法。

两种算法的完整代码

 1 #include
 2 #define number 10
3 typedef struct
  {
4   int i,j; 5   int data; 6 }triple;
7 typedef struct
  {
8   triple data[number]; 9   int rpos[number]; 10   int n,m,num; 11 }TSMatrix;
12 TSMatrix transposeMatrix(TSMatrix M,TSMatrix T)
  {
13   T.m = M.n; 14   T.n = M.m; 15   T.num = M.num;
16   if (T.num)
   {
17     int q = 0; 18     for (int col=1; col<=M.m; col++)
      {
19       for (int p=0; p)
        { 20         if (M.data[p].j == col)
          {
21           T.data[q].i = M.data[p].j; 22           T.data[q].j = M.data[p].i; 23           T.data[q].data = M.data[p].data; 24           q++; 25         } 26       } 27     } 28   }
29   return T; 30 }
31 TSMatrix fastTransposeMatrix(TSMatrix M, TSMatrix T)
  {
32   T.m = M.n; 33   T.n = M.m; 34   T.num = M.num; 35   if (T.num)
    {
36     int array[number]; 37     for (int col=1; col<=M.m; col++)
      {
38       array[col] = 0; 39     } 40     for (int t=0; t)
      { 41       int j = M.data[t].j; 42       array[j]++; 43     } 44     int cpot[T.m+1]; 45     cpot[1] = 1; 46     for (int col=2; col<=M.m; col++)
      {
47       cpot[col] = cpot[col-1]+array[col-1]; 48     } 49     for (int p=0; p)
      { 50       int col = M.data[p].j; 51       int q = cpot[col]; 52       T.data[q-1].i = M.data[p].j; 53       T.data[q-1].j = M.data[p].i; 54       T.data[q-1].data = M.data[p].data; 55       cpot[col]++; 56     } 57   } 58
    return T; 59 }
60 int main()
  {
61   TSMatrix M; 62   M.m = 2; 63   M.n = 3; 64   M.num = 4; 65   M.data[0].i = 1; 66   M.data[0].j = 2; 67   M.data[0].data = 1; 68   M.data[1].i = 2; 69   M.data[1].j = 2; 70   M.data[1].data = 3; 71   M.data[2].i = 3; 72   M.data[2].j = 1; 73   M.data[2].data = 6; 74   M.data[3].i = 3; 75   M.data[3].j = 2; 76   M.data[3].data = 5; 77   TSMatrix T; 78   T=transposeMatrix(M, T); 79   printf("使用普通方法:\n"); 80   for (int i=0; i)
    { 81     printf("(%d,%d,%d)", T.data[i].i, T.data[i].j, T.data[i].data); 82   } 83   printf("\n"); 84   TSMatrix T1; 85   T1 = fastTransposeMatrix(M, T1); 86   printf("使用改进方法:\n"); 87   for (int i=0; i)
    { 88     printf("(%d,%d,%d)", T.data[i].i, T.data[i].j, T.data[i].data); 89   }
90   return 0; 91 }


输出结果
使用普通方法:
(1,3,6)(2,1,1)(2,2,3)(2,3,5)
使用改进方法:
(1,3,6)(2,1,1)(2,2,3)(2,3,5)

 


转载于:https://www.cnblogs.com/ciyeer/p/9036092.html

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