数学思维导论(一) Introduction to Mathematical Thinking 什么是数学?为什么要学习数学?

什么是数学?

通常我们都认为数学是一系列的特定步骤去解决数学问题,但更要探究为何要用这些步骤。

1. 数学不仅仅是算术

数学被认为是在大约一万年前发明数字和算术时开始的,目的是为了给世界带来财富。
在随后的几个世纪里,古埃及人和巴比伦人将这个主题扩展到包括几何学和三角学。
在以上文明中,数学是实用的,就像菜谱一样,按照步骤就能得到想要的结果。

大约公元前 500 年到公元 300 年的时期是希腊数学的时代。古希腊数学家特别重视几何学。事实上,他们以几何的方式将数字视为长度的度量,当他们发现存在长度和他们的数字不相符(无理长的发现),他们对数字的研究就停滞了。(传说发现这个的年轻希腊数学家被带到海里淹死,以免他把偶然发现的可怕消息泄露出去。没有任何证据支持这个幻想故事。 可惜,因为这是一个伟大的故事。)

是希腊人把数学带到了研究的领域,而不仅仅是测量,计数之类的技术,

大约在公元前 500 年,米利都(位于安纳托利亚西海岸线上的一座古希腊城邦)的泰勒斯(现在是土耳其的一部分)提出了这样一种观点,即数学的精确陈述通过正式论证可以在逻辑上得到证明。这一创新标志着定理的诞生,现在是数学的基石。

对于希腊人来说,这种方法在欧几里得的《几何原本》的出版中达到了顶峰,《几何原本》据说是在《圣经》之后最流传的书籍。

第一个千年前半期印度现代位值算术的发展及其在千年后半期穆斯林世界的贸易商和学者的扩展(包括代数)进一步推进了该学科,因为中世纪南欧的那些思想该学科更进一步发展了。

尽管数学从那时起一直在发展,并且没有停止的迹象,但总的来说,学校数学包括上面列出的发展,以及来自 17 世纪的两个进一步的进步:微积分和概率论。 在过去的三百年里,几乎没有任何东西进入课堂。 然而,当今世界使用的大部分数学都是在过去的 200 年中发展起来的!

在美国雇佣数学家最多的是美国安全部门(National Security Agency)大多数都在做解密工作。

过去一百年左右,数学活动戏剧性的爆炸增长。 在 20 世纪初,可以合理地认为数学由大约 12 门不同的学科组成:算术、几何、微积分等等。 今天,数学有大约六十到七十个不同的类别。 一些学科,如代数或拓扑学,已经分成了不同的子领域; 其他的,如复杂性理论或动力系统理论,则是全新的研究领域。

1980 年代数学的迅猛发展导致了数学作为模式科学(science of patterns)(或者说科学的模式)的新定义的出现。 根据这种描述,数学家识别并分析抽象模式——数字模式、形状模式、运动模式、行为模式、群体中的投票模式、重复偶然事件的模式等等。 这些模式可以是真实的或想象的,视觉的或心理的,静态的或动态的,定性的或定量的,功利的或娱乐的。 它们可能来自我们周围的世界,来自对科学的追求,或来自人类思想的内部运作。 不同类型的模式产生不同的数学分支。 例如:

  • 算数和数论研究数字和计数的模式
  • 几何学研究物体形状的模式
  • 概率论研究几率的模式
  • 拓扑学研究近度(远近),位置等模式
  • 分形几何研究自然界中发现的自相似性。

    数学事件

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总结

数学由数字和计算发展到科学的模式,从实体中抽象出数学的模式进行精确分析研究。

2. 数学符号

用语言表述数学定理会更加复杂,所以抽象出数学的语言:符号。但数学不是符号,正如音乐不是音符一样。只有在脑钟把各种音符组合从而弹奏出的声音才是音乐,正如数学,理解各种数学符号组成起来的背后的意义才是数学。

符号有时比文字更能有效的传递信息。而数学的语言是符号,理解世界的语言是数学。数学让不可感知的变为可感知的。

The great book of nature can be read only by those who know the language in which it was written. And this language is mathematics ---- 《The Assayer》 Galileo Galilei

3. 当代大学数学

在19世纪起,重心由计算转移到了理解抽象的概念和理论,以及它们之间的联系。

This was a shift in emphasis from doing to understanding. Mathematical objects were no longer thought of as given primarily by formulas, but rather as carriers of conceptual properties. Proving something was no longer a matter of transforming terms in accordance with rules, but a process of logical deduction from concepts.

期间有过分球悖论(Banach–Tarski Paradox),视频链接:https://www.bilibili.com/vide...

这个悖论说,原则上,可以将一个球体分成两个大小相同的球体。这虽然违背我们的直觉,但在数学上证明是正确的。

数学不再依靠其他方式证明它本身的合理性,而是用数学本身证明数学。
数学不仅仅是按照特定的步骤去解决特定的问题,而是学会用数学的方式思考问题
在1960年,曾有过一次“新数学”运动,“忘了计算技巧吧,专注于概念和思想”造成了很大的灾难,因为即使你得到了错的答案也没有任何关系。过了仅仅几年后“新数学”运动就从高校教育中退出了。计算依然很重要- -。

4. 为什么我们要学习数学?

  1. 首先,教育不仅仅是获得特定工具以在以后的职业生涯中使用。作为人类文明最伟大的创造之一,数学应该与科学、文学、历史和艺术一起教授,以便将我们的文化瑰宝代代相传。我们人类不仅仅是我们所做的工作和我们追求的职业。教育是为生活做准备,其中只有一部分是对特定工作技能的掌握。
  2. 毫无疑问,许多工作需要数学技能。事实上,在大多数行业中,几乎在任何级别,数学要求都比人们普遍认为的要高,因为许多人在找工作时发现自己缺乏数学背景。

多年来,我们已经习惯了这样一个事实,即工业社会的进步需要具备数学技能的劳动力。但如果你仔细观察,这些技能分为两类。第一类包括给定数学问题(即已经用数学术语表述的问题)可以找到其数学解决方案的人。第二类包括能够解决新问题的人,比如在制造中,用数学方法识别和描述问题的关键特征,并使用该数学描述以精确的方式分析问题。

过去,对第一类人才的需求很大,对第二类人才的需求很小。我们的数学教育过程在很大程度上满足了这两种需求。它一直主要专注于培养第一种类型的人,但其中一些人不可避免地也擅长第二种活动。所以一切都很好。但在当今世界,公司必须不断创新才能保持业务发展,需求正在转向第二类数学思想家——能够在数学框外思考的人,而不是在数学框内思考的人。现在,突然间,一切都变了

总是需要掌握一系列数学技术的人,他们能够长期独立工作,专注于特定的数学问题,我们的教育体系应该支持他们的发展。但在 21 世纪,更大的需求将是 2 型能力。课程中给他们一个名称:创新的数学思想家

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