B-tree和B+tree 一种为数据查询而生的结构

B-tree

介绍

B-tree(平衡多路查找树)是自平衡树的数据结构,维护已排序的数据。关于二叉树和其它自平衡树可查看上篇红黑树

一棵 \( m \) 阶的树满足以下性质,

  1. 每个节点最多有\( m \)个子节点。
  2. 如果根不是叶节点,则根至少有两个子节点。
  3. 每个非叶节点(根除外)至少有 \( {\frac{m}{2}} \) 个子节点。
  4. 具有 \( k \) 个子节点的非叶节点包含 \( k-1 \) 个键。
  5. 所有的叶子节点都具有相同的高度。

每个非内部节点的键充当分隔其子树的分隔值。例如,下面是一棵 5 阶树的片段,内部节点有包含两个键 [7, 16] ,所以它有三个子节点,最左边子节点的键满足小于7,中间子节点的键满足大于7小于16,最右边子节点的键满足大于于16。

内部节点:内部节点是除叶节点和根节点之外的所有节点。

B-tree和B+tree 一种为数据查询而生的结构_第1张图片

场景

B-tree 跟 红黑树应用场景不同,这种数据结构是为了处理大量数据而发明,它针对读写大数据量系统进行优化,常用于数据库和文件系统。

红黑树常用在应用程序,因为它处理的数据量一般不超过主存(RAM)容量。在数据库场景中,数据量都是GB,TB级别,数据存储在磁盘上,每次操作需要访问磁盘读取数据。

计算机存储硬件中访问数据的时间从快到慢依次如下:

  • 寄存器
  • CPU缓存(L1、L2 和 L3)
  • 主内存(RAM)
  • 磁盘驱动器(固态磁盘)
  • 磁盘驱动器(磁盘)
执行典型指令                1/1000000000 秒 = 1纳秒
从一级缓存中读取数据            0.5 纳秒
从二级缓存中读取数据            7 纳秒
从主内存中读取数据                 100 纳秒 
从新的磁盘位置读取数据             8000000 纳秒 = 8毫秒

从上面可以看出,主内存的访问时间在纳秒级别,磁盘访问时间在毫秒级别。这意味着如果程序从磁盘读取会比从主内存读取慢 100, 000 倍。

所以 B-tree 优化目的就是减少磁盘访问次数,通过下面方式:

  • 降低树高度,使用多叉树结构让单个节点存储更多个键
  • 数据以块读取,这样一次可以读取更多数据,一般来说节点容量等于磁盘块大小。
1秒=1000毫秒=1000000微秒=1000000000纳秒

自平衡

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拆分树节点

下面是一个 6阶B-tree(m=6),它一个节点可以拥有的最大键数是5,当插入数字6时,左边节点到达最大键,需要拆分树的节点。

B-tree和B+tree 一种为数据查询而生的结构_第3张图片

插入新数字6 步骤如下:

  1. 先求出节点的中位数为 3;
  2. 创建一个新的叶节点,将中位数 3 之后的所有键复制到新节点;
  3. 将中位数3 上移,插入到父节点适当位置;
  4. 在中位数3 后添加一个父节点到新节点的指针;
  5. 将新数字 6 添加到新节点的正确位置。

合并树的两个节点

删除键后,如果节点键数量小于最小键数时需要合并节点。下面树一个节点可以拥有的最小键数为2。

B-tree和B+tree 一种为数据查询而生的结构_第4张图片

删除叶节点键1:

  1. 查找到1删除;
  2. 删除3左指针,将 2 复制到 [4,5]节点,3下移;
  3. 3下移后,只有一个键6,父节点继续下移,直到平衡。

B-tree和B+tree 一种为数据查询而生的结构_第5张图片

删除内部节点20:

  1. 查找到 20 删除,选取 20位置左子节点中最大值19 替换;
  2. 删除 19位置左指针;
  3. 17 键下移到 [15,16]节点,18追加到后面。

B+tree

B+tree 是 B-tree 一个优化版本,用于数据库索引。B+tree与B-tree的区别主要有两个方面:

  • B+tree非叶子节点只存储键,而B-tree所有节点都可以存储键值;
  • B+tree 键对应的值都存储在叶节点并且通过链表链接在一起。

下图展示了B+tree存储键值的情况,键 [1-7] 对应的值 [d1-d7]。

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MySQL存储引擎 InnoDB中的 B+tree

MySQL 创建表时会生成一个 .ibd文件,这个ibd文件是一个功能齐全的空间。每个空间又被拆分成多个页面(Page),每一页都会分配了一个 32 位整数页号,每个页面大小通常为16kB。

B+tree 索引中每个节点容量一个页面的大小,叶子节点非叶子节点数据类型不同。

叶子节点包含键值下一条记录的指针

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非叶子节点包含子页面的页码和指向的子页面的最小键

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同级节点之间,每个节点上一页下一页的指针,形成同一级别页面的双向链表。

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综上索引结构如下,同级页面形成双向链接,在每个页面内记录升序链接,非叶页面包含子页面“指针”(子页码)。

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关于B+tree 效率问题,可以查看下表

树高度 非叶页面 叶子页面 行数 大小
1 0 1 468 16.0 KB
2 1 1203 > 56.3 万 18.8 MB
3 1204 1447209 > 6.77 亿 22.1 GB
4 1448413 1740992427 > 8140 亿 25.9 TB

大多数表索引高度再1-3级,所以一般只需要1-3次磁盘IO操作就可以完成。上面图中描述的都是聚集索引(主键)。

数据库中的 B+Tree索引分为聚集索引(clustered index)和次要索引(secondary index),聚集索引的叶子页是包含整行数据的页面,次要索引的叶子页存储了对应行的主键。

  • 使用聚集索引查询可以直接获得整行数据。
  • 使用次要索引查询时,先查询到主键值,然后再通过主键在聚集索引中找到完整的行数据。

小结

B-tree 是一种大数据量场景下的优化数据结构,旨在减少磁盘访问次数(降低树高度)。

B-tree 中的著名版本 B+tree 通过让非叶节点只存储键,占用空间变小,使得每一层节点可以索引更多数据,有效控制了树高度。

MYSQL的InnoDB中使用 B+tree 作为索引,正常情况下树高度保持在 1-4 级。

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