java图论普利姆及克鲁斯卡算法解决最小生成树问题详解

什么是最小生成树?

最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST.

最小生成树要求图是连通图。连通图指图中任意两个顶点都有路径相通,通常指无向图。理论上如果图是有向、多重边的,也能求最小生成树,只是不太常见。

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普利姆算法 

算法介绍

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应用 --> 修路问题 

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图解分析 

假设从A村开始

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1.从顶点开始处理==============>>

A - C[7]   A - G[2]  A - B[5]

2.开始,将A和G顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理=>

A - C[7]   G - E[4]  G - F[6]  B - D[9]

3.开始,将A,G,B顶点和他们相邻的还没有访问的顶点进行处理 =>

A - C[7]  G - E[4]  G - F[6]   B - D[9]

...........

4. -> F//第4次大循环,对应边 权值:5

5. -> D//第5次大循环,对应边权值:4

6. -> C//第6次大循环,对应边权值:7

public class PrimAlgorithm {
	public static void main(String[] args) {
		// 测试图是否创建成功
		char[] data = new char[] { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
		int verxs = data.length;
		// 邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数,表示两个点不连通
		int[][] weight = new int[][] { { 10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2 }, { 5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3 },
				{ 7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000 }, { 10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000 },
				{ 10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4 }, { 10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6 },
				{ 2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000 }, };
		// 创建MGraph对象
		MGraph graph = new MGraph(verxs);
		// 创建一个MinTree对象
		MinTree minTree = new MinTree();
		minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
		// 输出
		minTree.showGraph(graph);
		// 测试普利姆算法
		minTree.prim(graph, 0);
	}
} 
//创建最小生成树 -> 村庄的图
class MinTree {
	/**
	 * 创建图的邻接矩阵
	 * 
	 * @param graph  图对象
	 * @param verxs  图对应的顶点个数
	 * @param data   图的各个顶点的值
	 * @param weight 图的邻接矩阵
	 */
	public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
		int i, j;
		for (i = 0; i < verxs; i++) {
			graph.data[i] = data[i];
			for (j = 0; j < verxs; j++) {
				graph.weight[i][j] = weight[i][j];
			}
		}
	}
	/**
	 * 显示图的邻接矩阵
	 */
	public void showGraph(MGraph graph) {
		for (int[] link : graph.weight) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}
 	/**
	 * 编写prim算法,得到最小生成树
	 * 
	 * @param graph 图
	 * @param v     表示从图的第几个顶点开始生成'A' -> 0 'B' -> 1...
	 */
	public void prim(MGraph graph, int v) {
		// visited[] 标记节点(顶点)是否被访问过
		int visited[] = new int[graph.verxs];
		// visited[] 默认元素的值都是0,表示没有访问过
		for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
			visited[i] = 0;
		}
		// 把当前这个节点标记为已访问
		visited[v] = 1;
		// h1 和 h2 记录两个顶点的下标
		int h1 = -1;
		int h2 = -1;
		int minWeight = 10000;// 将minWeight初始成一个大数,后面在遍历过程中,会被替换
		for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {// 因为有graph,verxs顶点,普利姆算法结束后,有graph.verxs -1边
			// 这个是确定每一次生成的子图,那个节点和这次遍历的节点距离最近
			for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i节点表示被访问过的节点
				for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {// j节点表示还没有访问过的节点
					if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
						// 替换minWeight(寻找已经访问过的节点和未访问过的节点间的权值最小的边)
						minWeight = graph.weight[i][j];
						h1 = i;
						h2 = j;
					}
				}
			}
			// 找到一条边最小
			System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值:" + minWeight);
			// 将当前这个节点标记未已经访问
			visited[h2] = 1;
			// minWeight 重新设置为最大值10000
			minWeight = 10000;
		}
	}
} 
class MGraph {
	int verxs; // 表示图的节点个数
	char[] data; // 存放节点数据
	int[][] weight; // 存放边,就是邻接矩阵
 
	public MGraph(int verxs) {
		this.verxs = verxs;
		data = new char[verxs];
		weight = new int[verxs][verxs];
	}
}

克鲁斯卡尔算法

算法介绍

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应用场景 -- 公交站问题 

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算法图解 

以上图G4为例,来对克鲁斯卡尔进行演示(假设,用数组R保存最小生成树结果)。

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 算法分析 

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法,我们能够了解到,克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:

问题一:对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二:将边添加到最小生成树中时,咋样判断是否形成了回路。

问题一很好解决,采用排序算法进行排序即可。

问题二,处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点,顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时,判断该边的两个顶点的终点是否重合,重合的话则会构成回路。

如何判断是否构成回路

举例说明(如图)

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代码实现 

public class KruskalCase {
	private int edgeNum;// 边的个数
	private char[] vertexs;// 顶点数组
	private int[][] matrix;// 邻接矩阵
	// 使用INF 表示两个顶点不能连通
	private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
	public static void main(String[] args) {
		char[] vertexs = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
		// 克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
		int matrix[][] = {
				/* A *//* B *//* C *//* D *//* E *//* F *//* G */
				/* A */{ 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14 }, /* B */{ 12, 0, 0, INF, INF, 7, INF },
				/* C */{ INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF }, /* D */{ INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF },
				/* E */{ INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8 }, /* F */{ 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9 },
				/* G */{ 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0 } };
		// 创建KruskalCase 对象实例
		KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
		// 输出构建的
		kruskalCase.print();
		kruskalCase.kruskal();
	} 
	// 构造器
	public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
		// 初始化顶点数和边的个数
		int vlen = vertexs.length;
 
		// 初始化顶点,使用的是复制拷贝的方式
		this.vertexs = new char[vlen];
		for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
			this.vertexs[i] = vertexs[i];
		} 
		// 初始化边,使用的是复制拷贝的方式
		this.matrix = new int[vlen][vlen];
		for (int i = 0; i < vlen; i++) {
			for (int j = 0; j < vlen; j++) {
				this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
			}
		}
		// 统计边的条数
		for (int i = 0; i < vlen; i++) {
			for (int j = i + 1; i < vlen; j++) {
				if (this.matrix[i][j] != INF) {
					edgeNum++;
				}
			}
		}
	}
 	public void kruskal() {
		int index = 0;// 表示最后结果数组的索引
		int[] ends = new int[edgeNum];// 用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树中的终点
		// 创建结果数组,保存最后的最小生成树
		EData[] rets = new EData[edgeNum]; 
		// 获取图中所有的边的集合,一共有12条边
		EData[] edges = getEdges();
		System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + "共" + edges.length);		
		//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
		sortEdges(edges);		
		//遍历edges数组,将边添加到最小生成树中时,判断准备加入的边是否形成了回路,如果没有,就加入rets,否则不能加入
		for(int i = 0;i < edgeNum;i++) {
			//获取到第i条边的第一个顶点(起点)
			int p1 = getPosition(edges[i].start);
			//获取到第i条边的第2个顶点
			int p2 = getPosition(edges[i].end);
			//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
			int m = getEnd(ends, p1);
			//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
			int n = getEnd(ends, p2);
			//是否构成回路
			if(m != n) {//没有构成回路
				ends[m] = n;//设置m在"已有最小生成树"中的终点 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0]
				rets[index++] = edges[i];//有一条边加入到rets数组
			}
		}
		//统计并打印"最小生成树",输出rets
		System.out.println("最小生成树为");
		for(int i = 0;i < index;i++) {
			System.out.println(rets[i]);
		}
	} 
	// 打印邻接矩阵
	public void print() {
		System.out.println("邻接矩阵为:\n");
		for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
			for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
				System.out.printf("%20d\t", matrix[i][j]);
			}
			System.out.println();
		}
	}
 	/**
	 * 功能:对边进行排序处理,冒泡排序
	 * 
	 * @param edges 边的集合
	 */
	private void sortEdges(EData[] edges) {
		for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
			for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
				if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {// 交换
					EData tmp = edges[j];
					edges[j] = edges[j + 1];
					edges[j + 1] = tmp;
				}
			}
		}
	} 
	/**
	 * @param ch 顶点的值,比如'A','B'
	 * @return 返回ch顶点对应的下标,如果找不到,返回-1
	 */
	private int getPosition(char ch) {
		for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
			if (vertexs[i] == ch) {// 找到
				return i;
			}
		}
		// 找不到,返回-1
		return -1;
	} 
	/**
	 * 功能:获取图中边,放到EData[]数组中,后面我们需要遍历该数组 是通过matrix邻接矩阵来获取 EData[]
	 * 形式[['A','B',12],['B','F',7],...]
	 * 
	 * @return
	 */
	private EData[] getEdges() {
		int index = 0;
		EData[] edges = new EData[edgeNum];
		for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
			for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
				if (matrix[i][j] != INF) {
					edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
				}
			}
		}
		return edges;
	}
	/**
	 * 功能:获取下标为i的顶点的棕垫终点(),用于后面判断两个顶点的终点是否相同
	 * 
	 * @param ends 数组就是记录了各个顶点对应的终点是那个,ends数组是在遍历过程中,逐步形成
	 * @param i    表示传入的顶点对应的下标
	 * @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标
	 */
	private int getEnd(int[] ends, int i) {
		while (ends[i] != 0) {
			i = ends[i];
		}
		return i;
	}
}
//创建一个类EData,它的对象实例就表示一条边
class EData {
	char start;// 边的一个点
	char end;// 边的另外一个点
	int weight;// 边的权值
	// 构造器 
	public EData(char start, char end, int weight) {
		this.start = start;
		this.end = end;
		this.weight = weight;
	} 
	// 重写toString,便于输出边
	@Override
	public String toString() {
		return "EData [start=" + start + ", end=" + end + ", weight=" + weight + "]";
	}
 
}

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