矩阵分析L3内积空间

一、内积空间的概念

1.概念

两个向量的点乘操作应该算内积空间
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2.性质

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3.类型

  • Rn上的标准内积

因为要对应位置相乘,所以后一个转置了一下
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  • Rn×n上的内积

同样也是对应位置相乘
在这里插入图片描述

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  • Rm×n上的内积

转置后再相乘,因为对应
在这里插入图片描述

二、向量的长度及夹角

1.向量长度

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2.内积运算里的不等式

  • 柯西—许瓦兹不等式
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  • 长度不等式
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3.度量矩阵

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4.例题(度量矩阵)

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三、正交组

1. 概念

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正交化:
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如下:
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2.例题(内积空间求正交基)

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3.标准正交基

标准化的正交基具有一定的特殊性
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两个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵
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四、子空间的正交性

1.概念

  • 正交空间
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  • 正交补
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2.例题(正交空间)

w中任何一个向量都可以有这两个基表示出来,所以只需要求一个基和W的两个基正交,这个基就是与W正交的内积空间的基向量。
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3.例题(非零子空间)

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2小问有点莫名其妙呢,正交基互相正交,各自代表的空间不就是正交空间了吗
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五、正交变换

1.概念

要证明一个变换是正交变换,直接证明|Ta|=|a|即可。
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2.性质

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六、最小二乘法

1.概念

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求法为:
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2.例题(求最小二乘解)

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七、酉空间(或称复内积空间)

1.概念

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2.酉空间的内积

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3.酉空间性质

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八、正规矩阵

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1.可对角化的充要条件

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2.例题(由正规矩阵求酉矩阵)

这里和求正交标准基一样了
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3.例题(求正交变换T)

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