Hessian矩阵

1.定义

设函数\( F \)对\( x \)的二级导数都存在,则\( F \)的Hessian矩阵为:
Hessian矩阵_第1张图片

2. 正定矩阵、半正定矩阵、负定矩阵、半负定矩阵

正定矩阵:给出一个\( n*n \)的矩阵\( A \),如果对于任意长度为\( n \)的非零向量,都有\( xTAx>0\)成立,则\( A\)是正定矩阵。等价于\( A \)的所有特征值都是正的。等价于\( A \)的顺序主子式都是正的。

半正定矩阵:给出一个\( n*n \)的矩阵\( A \),如果对于任意长度为\( n \)的非零向量,都有\( xTAx>=0\)成立,则\( A\)是正定矩阵。等价于\( A \)的所有特征值都是正的。等价于\( A \)的顺序主子式都是正的。

负定矩阵:给出一个\( n*n \)的矩阵\( A \),如果对于任意长度为\( n \)的非零向量,都有\( xTAx<0\)成立,则\( A\)是正定矩阵。等价于\( A \)的所有特征值都是正的。等价于\( A \)的顺序主子式都是正的。

半负定矩阵:给出一个\( n*n \)的矩阵\( A \),如果对于任意长度为\( n \)的非零向量,都有\( xTAx<=0\)成立,则\( A\)是正定矩阵。等价于\( A \)的所有特征值都是正的。等价于\( A \)的顺序主子式都是正的。

3.hessian矩阵的应用

Hessian Matrix,它有着广泛的应用,如在牛顿方法、求极值以及边缘检测、消除边缘响应等方面的应用,图像处理里,可以抽取图像特征,在金融里可以用来作量化分析。

判断极值点
如果H(M)是正定矩阵,则临界点M梯度为0处是一个极小值。
如果H(M)是负定矩阵,则临界点M梯度为0处是一个极大值。
如果H(M)是不定矩阵,则临界点M梯度为0为鞍点。

图像领域
Hessian matrix实际上就是多变量情形下的二阶导数,他描述了各方向上灰度梯度变化。我们在使用对应点的hessian矩阵求取的特征向量以及对应的特征值,较大特征值所对应的特征向量是垂直于直线的,较小特征值对应的特征向量是沿着直线方向的。因此我们可以用hessian矩阵进行边缘检测。对于SIFT算法中的边缘响应的消除可以根据hessian矩阵进行判定。
如下图所示,一个二维平面上的一条直线,图像的特征具体可以描述为:沿着直线方向,亮度变化极小,垂直于直线方向,亮度由暗变亮,再由亮变暗,沿着这个方向,亮度变化很大。我们可以将边缘图像分布特征与二次型函数图形进行类比,可以找到两个方向,一个方向图像梯度变化最慢,另一个方向图像梯度变化最快。那么图像中的边缘特征就与图像的二次型函数就对应起来了。
Hessian矩阵_第2张图片
reference:
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