c++动态规划经典算法

基本思想

         动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中,可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。

重要分析问题方法

        动态规划算法跟数组有着密切的关系,因此推荐大家在分析动态规划的算法时画一张表格(建议使用excel)分析解决问题往往能够事半功倍。

动态规划算法实例

1、台阶问题

 问题描述:有10级台阶,一个人每次上一级或者两级,问有多少种走完10级台阶的方法。

结合表格分析问题,每个子问题都只跟台阶这个变量相关,可以画出一个一维表格进行分析。

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
走法 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

分析边界条件:对于每个台阶每次上一级或者两级,当台阶数为1时走法为1(即走一级即毕)为2时走法为2(走两次一级和走一次二级)。

分析递归关系:对于任一台阶都可以分为通过两级或者一阶到达。

      

终于,在有了上述两个条件之后,问题轻易得到了求解。(结合表格分析的手段到这里还没有完全发挥出它该有的优势,大家拭目以待)

台阶问题基于c++的代码实现:

// ConsoleApplication2.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//
//台阶问题:有一座高度是10级台阶的楼梯,从下往上走,每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法。
#include "stdafx.h"
#include 
using namespace std;
int getResultByDP(int n)//自底向上的问题解法
{
	if (n<1)
	{
		return 0;
	}
	if (n==1)
	{
		return 1;
	}
	if (n==2)
	{
		return 2;
	}
	int a = 1;//从两个递归基开始
	int b = 2;
	int temp = 0;
	for (int i = 3; i < n + 1; i++)
	{
		temp = a + b;
		a = b;
		b = temp;
	}
	return temp;
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	cout << getResultByDP(10);
	system("pause");
	return 0;
}

2、从矩阵左上角走到右下角最短路径问题

问题描述:给定一个矩阵m,从左上角开始每次只能向右走或者向下走,最后达到右下角的位置,路径中所有数字累加起来就是路径和,返回所有路径的最小路径和,如果给定的m如下,那么路径1,3,1,0,6,1,0就是最小路径和,返回12.

1 3 5 9

8 1 3 4

5 0 6 1

8 8 4 0

矩阵从左上角走到右下角
  0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 3 5 9
2 0 8 1 3 5
3 0 5 0 6 1
4 0 8 8 4 0
           
  0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 4 9 18
2 0 9 5 8 13
3 0 14 5 11 12
4 0 22 13 15 12

边界条件分析:由问题知道对于任一矩阵中的元素而言,上次位置或者是在该元素的坐标或者上边。那么当一些元素没有左边或者上边时应该怎么做呢?不妨就说的更为具体一些吧,如上图的表格所示当x(表示行下标)等于1,和y(表示列下标)等于1时正好是对应没有上边元素和没有左边元素的情况。对于只有左边元素的值array[x][y]=array[x][y-1]+m[x][y],对于只有上边元素:array[x][y]=array[x-1][y]+m[x][y](array为下面统计问题结果的二维数组,m为包含输入矩阵信息的二维数组)。

递归公式:对于平凡的子问题而言 (推导递归公式时刻意的考察array[x][y]和array[x-1][y]与array[x][y-1]的实际关系)

对于此问题而言:arry[x][y]=min(array[x-1][y],array[x][y-1])+m[x][y]

以下是该问题基于c++的代码实现:

//给定一个矩阵m,从左上角开始每次只能向右走或者向下走,最后达到右下角的位置,路径中所有数字累加起来就是路径和,返回所有路径的最小路径和,如果给定的m如下,那么路径1,3,1,0,6,1,0就是最小路径和,返回12.
#include "stdafx.h"
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int const x_length=5, y_length=5;
int m[x_length][y_length] = {
	0, 0, 0, 0, 0,
	0, 1, 3, 5, 9,
	0, 8, 1, 3, 5,
	0, 5, 0, 6, 1,
	0, 8, 8, 4, 0
};
int minDis() //m二级指针(可以是一个二维数组)
{
	int dp[4 + 1][4 + 1];
	//---------初始化边界条件-----------------
	for (size_t i = 0; i < x_length; i++)
	{
		dp[i][0] = 0;
	}
	for (size_t j = 0; j < y_length; j++)
	{
		dp[0][j] = 0;
	}
	//-------------------------------------------
	for (size_t i = 1; i < x_length; i++)
	{
		for (size_t j= 1; j < y_length; j++)
		{
			if (i == 1)
			{
				dp[i][j] = dp[i][j - 1] + m[i][j];
			}
			else if (j == 1)
			{
				dp[i][j] = dp[i - 1][j] + m[i][j];
			}
			else
			{
				int temp1 = dp[i - 1][j] + m[i][j];
				int temp2 = dp[i][j - 1] + m[i][j];
				dp[i][j] = min(temp1, temp2);
			}			
		}
	}
	return dp[x_length - 1][y_length - 1];
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	cout << "最右下角的最短路径为:" << minDis();
	system("pause");
	return 0;
}

3、最大子数组问题

问题描述:给定数组arr,返回arr的最长递增子序列的长度,比如arr=[2,1,5,3,6,4,8,9,7],最长递增子序列为[1,3,4,8,9]返回其长度为5,由于该问题中总要把当前元素和在他之前的进行分析,我们也是借助表格来直观的分析该问题。

    2 4 5 3 1    
    0 1 2 3 4 5 6
2 0              
4 1              
5 2              
3 3              
1 4              
                 
0 1 2 3 4        
1 2 3 2 1        

边界条件:显然对于第一个数而言有dp[0]=1(dp表示存放结果的数组)

递归公式:首先生成dp[n]的数组,dp[i]表示以必须arr[i]这个数结束的情况下产生的最大递增子序列的长度。对于第一个数来说,很明显dp[0]为1,当我们计算dp[i]的时候,我们去考察i位置之前的所有位置,找到i位置之前的最大的dp值,记为dp[j](0=

该问题基于c++的代码实现:

//给定数组arr,返回arr的最长递增子序列的长度,比如arr=[2,1,5,3,6,4,8,9,7],最长递增子序列为[1,3,4,8,9]返回其长度为5.
#include "stdafx.h"
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int dp[5] = {};
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
 int arr[5] = { 2, 4, 5, 3, 1 };
 dp[0] = 1;
 const int oo = 0;
 for (int i = 1; i<5; i++){
  int _max = oo;
  for (int j = 0; j_max && arr[i]>arr[j])
    _max = dp[j];
  dp[i] = _max + 1;
 }
 int maxlist = 0;
 for (int i = 0; i < 5; i++)
  if (dp[i] > maxlist)
   maxlist = dp[i];
 cout << maxlist << endl;
 system("pause");
 return 0;
}

4、最长公共子序列

问题描述:给定两个字符串str1和str2,返回两个字符串的最长公共子序列,例如:str1="1A2C3D4B56",str2="B1D23CA45B6A","123456"和"12C4B6"都是最长公共子序列,返回哪一个都行。

问题分析:首先生成dp[n]的数组,dp[i]表示以必须arr[i]这个数结束的情况下产生的最大递增子序列的长度。对于第一个数来说,很明显dp[0]为1,当我们计算dp[i]的时候,我们去考察i位置之前的所有位置,找到i位置之前的最大的dp值,记为dp[j](0=

    B D C A B A  
    0 1 2 3 4 5  
A 0 0 0 0 0 0 0 0
B 1 0 0 0 0 1 1 1
C 2 0 1 1 1 1 2 2
B 3 0 1 1 2 2 2 2
D 4 0 1 1 2 2 3 3
A 5 0 1 2 2 2 3 3
B 6 0 1 2 2 3 3 4
  7 0 1 2 2 3 4 4
                 
    B D C A B A  
    0 1 2 3 4 5  
A 0 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2
B 1 -2 -1 -1 -1 0 1 0
C 2 -2 0 1 1 -1 0 1
B 3 -2 -1 -1 0 1 -1 -1
D 4 -2 0 -1 -1 -1 0 1
A 5 -2 -1 0 -1 -1 -1 -1
B 6 -2 -1 -1 -1 0 -1 0
  7 -2 0 -1 -1 -1 0 -1

该问题基于c++代码实现:

//输入为两个长度不为零的字符串,输出这两个字符串的最大公共子序列
#include "stdafx.h"
#include 
#include 
#ifndef MAX
#define MAX(X,Y) ((X>=Y)? X:Y)
#endif
using namespace std;
int **Lcs_length(string X, string Y, int **B)
{
 int x_len = X.length();
 int y_len = Y.length();
 int **C = new int *[x_len + 1];
 for (int i = 0; i <= x_len; i++)
 {
  C[i] = new int[y_len + 1];        //定义一个存放最优解的值的表;
 }
 for (int i = 0; i <= x_len; i++)
 {
  C[i][0] = 0;
  B[i][0] = -2;                     //-2表示没有方向
 }
 for (int j = 0; j <= y_len; j++)
 {
  C[0][j] = 0;
  B[0][j] = -2;
 }
 for (int i = 1; i <= x_len; i++)
 {
  for (int j = 1; j <= y_len; j++)
  {
 
   if (X[i - 1] == Y[j - 1])
   {
    C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + 1;
 
    B[i][j] = 0;             //0表示斜向左上
   }
   else
   {
    if (C[i - 1][j] >= C[i][j - 1])
    {
     C[i][j] = C[i - 1][j];
     B[i][j] = -1;       //-1表示竖直向上;
    }
    else
    {
     C[i][j] = C[i][j - 1];
     B[i][j] = 1;        //1表示横向左
    }
   }
 
  }
 }
 return C;
}
 
void OutPutLCS(int **B, string X, int str1_len, int str2_len)
{
 if (str1_len == 0 || str2_len == 0)
 {
  return;
 }
 if (B[str1_len][str2_len] == 0)   //箭头斜向左上
 {
  OutPutLCS(B, X, str1_len - 1, str2_len - 1);
  cout << X[str1_len - 1] << endl;
 }
 else if (B[str1_len][str2_len] == -1)
 {
  OutPutLCS(B, X, str1_len - 1, str2_len);
 }
 else
 {
  OutPutLCS(B, X, str1_len, str2_len - 1);
 }
}
 
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
 string X = "ABCBDAB";
 string Y = "BDCABA";
 
 int x_len = X.length();
 int y_len = Y.length();
 
 int **C;//定义一个二维数组
 
 int **B = new int *[x_len + 1];
 for (int i = 0; i <= x_len; i++)
 {
  B[i] = new int[y_len + 1];
 }
 C = Lcs_length(X, Y, B);
 for (int i = 0; i <= x_len; i++)
 {
  for (int j = 0; j <= y_len; j++)
  {
   cout << C[i][j] << " ";
  }
  cout << endl;
 }
 cout << endl;
 for (int i = 0; i <= x_len; i++)
 {
  for (int j = 0; j <= y_len; j++)
  {
   cout << B[i][j] << " ";
  }
  cout << endl;
 }
 OutPutLCS(B, X, x_len, y_len);//构造最优解
 system("pause");
 return 0;
}

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