Dijkstra算法与Prim算法的异同案例详解

Dijkstra简述

Dijkstra算法用于构建单源点的最短路径树(MST)——即树中某个点到任何其他点的距离都是最短的。例如,构建地图应用时查找自己的坐标离某个地标的最短距离。可以用于有向图,但是不能存在负权值(Bellman-Ford可以处理负权值)。

  • 伪代码
Dijkstra() {
    for each u in G,V {
        //此处做初始化操作,给每个节点u赋键值+∞,设置空为父节点
        u.key = +∞
        u.parent = NULL
    }
    //选初始点r,Q是无向图G中所有点V的权值优先队列,key可看作源点到u的距离
    r.key = 0
    Q = G,V
    while(Q != ∅) {
          //取出Q中权值最小值的点u
          u = extractMin(Q) 
          //取点u连接的所有节点(即无向图G的邻接表中的第u个链表)
          for each v ∈ G.Adj[u] {
              if (v ∈ Q) and (w(u, v) < key) {
                  //若该节点仍在Q中且权值w(w,v)小于其原始权值,则进行松弛操作!
                  v.parent = u
                  v.key = w(u, v) + u.key
              }
          }
      }
}

Prim简述

Prim算法用于构建最小生成树——即树中所有边的权值之和最小。例如,构建电路板,使所有边的和花费最少。只能用于无向图

  • 伪代码
//无向图G, 权值w, 起始点r
MST(G, w, r) {
    for each u in G,V {
        //此处做初始化操作,给每个节点u赋键值+∞,设置空为父节点
        u.key = +∞
        u.parent = NULL
    }
    //选初始点r,Q是无向图G中所有点V的权值优先队列,key可看作u到下一个节点v的距离
    r.key = 0
    Q = G,V
    while(Q != ∅) {
          //取出Q中权值最小值的点u
          u = extractMin(Q) 
          //取点u连接的所有节点(即无向图G的邻接表中的第u个链表)
          for each v ∈ G.Adj[u] {
              if (v ∈ Q) and (w(u, v) < key) {
                  //若该节点仍在Q中且权值w(w,v)小于其原始权值,则进行松弛操作!
                  v.parent = u
                  v.key = w(u, v)
              }
          }
      }
}

MST中任意AB两点之间的距离,并不比原始图中AB的距离短,即原始图中可能存在边E(A,B)**小于**MST中的E(A,B)。

注意上述两个伪算法的差别只在于最后循环体内的松弛操作

  • 最小生成树只关心所有边的和最小,所以有v.key = w(u, v),即每个点直连其他点的最小值(最多只有两个节点之间的权值和)
  • 最短路径树只搜索权值最小,所以有v.key = w(u, v) + u.key,即每个点到其他点的最小值(最少是两个节之间的权值和)

简单总结就是,Dijkstra的松弛操作加上了到起点的距离,而Prim只有相邻节点的权值。

思想

都是使用贪婪和线性规划,每一步都是选择权值/花费最小的边。
贪婪:一个局部最有解也是全局最优解;
线性规划:主问题包含n个子问题,而且其中有重叠的子问题。

Dijkstra算法通过线性规划缓存了最优子路径的解,每一步也通过贪婪算法来选择最小的边。
Prim算法通过贪婪来选择最小的边,而Prim的每个子树都是最小生成树说明满足线性规划的两个条件。

时间复杂度

Time = θ( V * T1 + E * T2)
其中T1为取出键值最小点的时间,T2为降低键值的时间,取决于数据结构。

  • 数组
    T1= O(V), T2 = O(1), TIME = O(V * V + E) = O(V * V)
  • 二叉堆
    T1 = O(lgV), T2 = O(lgV), TIME = O(V * lgV + E * lgV) 
  • 斐波那契堆
    T1 = O(lgV), T2 = O(1), TIME = O(V * lgV + E) = O(V * lgV)

对于稀疏图来说,E远小于V*V,所以二叉堆比较好;
而对于密集图来说,E=V*V,所以数组比较好;
斐波那契堆是最好的情况。

Dijkstra特例

当边的权值都为1的时候,可以用DFS(广度优先搜索)优化时间复杂度。

  • 使用FIFO(先进先出)队列代替优先队列,优化了降低键值T2的操作为O(1)
  • 松弛操作改为
    if d[v] = +∞ {
        d[v] = d[u] + 1
        enqueue(Q, v)
    }

优化了取出键值最小点的时间T1 = O(1)

总的时间复杂度

TIME = V + E

到此这篇关于Dijkstra算法与Prim算法的异同案例详解的文章就介绍到这了,更多相关Dijkstra算法与Prim算法的异同内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家!

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