归并排序时间复杂度过程推导详解

归并排序

归并排序方法就是把一组n个数的序列,折半分为两个序列,然后再将这两个序列再分,一直分下去,直到分为n个长度为1的序列。然后两两按大小归并。如此反复,直到最后形成包含n个数的一个数组。

归并排序总时间=分解时间+子序列排好序时间+合并时间

无论每个序列有多少数都是折中分解,所以分解时间是个常数,可以忽略不计。

则:归并排序总时间=子序列排好序时间+合并时间

如果假设一个序列有n个数的排序时间为T(n),T(n)是一个关于n的函数,随着n的变化而变化。

那么我们将n个数的序列,分为两个(n/2)的序列。

归并排序时间复杂度过程推导详解_第1张图片

那么T(n)=2*T(n/2)+合并时间

由于合并时,两个子序列已经组内排好序了,那我们将两个排好序的序列组合成一个大的有序序列,只需要一个if循环即可。if循环中有n个数需要比较,所以时间复杂度为n。

那么T(n)=2*T(n/2)+n 

我们再将两个n/2个序列再分成4个(n/4)的序列。

归并排序时间复杂度过程推导详解_第2张图片

一个(n/2)序列排序时间=两个(n/4)的序列排序时间+两个(n/4)的序列的合并为一个(n/2)的序列时间

T(n/2)=2*T(n/4)+n/2

将T(n/2)带入到T(n)中,T(n)=2*(2*T(n/4)+n/2)+n,

通过化简T(n)=4*T(n/4)+2n 

我们再将4个n/4个序列再分成8个(n/8)的序列。

归并排序时间复杂度过程推导详解_第3张图片

T(n/4)=2*T(n/8)+n/4

将T(n/4)带入到黄色公式中,T(n)=4*(2*T(n/8)+n/4)+2n

通过化简T(n)=8*T(n/8)+3n

这样分下去,前面我们已经说过了,分为n个序列,每个序列里只有一个数为止。

前面我们假设的一个序列有n个数的排序时间为T(n),现在每个序列只有一个数,所以不需要进行组内排序,时间复杂度为0。T(1)=0

归并排序时间复杂度过程推导详解_第4张图片

大家有没有找到规律,右边式子中n前面的系数随着层数的增加而增加,第一层公式中没有n,则系数为0,第二层n的系数为1,第三层为2,第四层为3。那么规律就出来了,n前面的系数为层数减1。

那这个图有没有很熟悉,就像一个二叉树一样,通过二叉树的知识点我们可以知道,一个n个结点的完全二叉树层数为(log2n)+1。

那么n前面的系数为层数减1。

(log2n)+1-1=log2n

那log2n就是最底层n的系数。 

那么我们最后一层是不是可以这样表示

T(n)=n*T(1)+(log2n)*n

T(1)=0,那么T(n)=(log2n)*n

所以归并排序的时间复杂度为nlog2n

总结

本篇文章就到这里了,希望能给你带来帮助,也希望您能够多多关注脚本之家的更多内容!

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