计算机如何表示整数

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在计算机中,任何的数据都是用二进制: 0 和 1 来表示。整数也不例外。生活中的 10,在 8 个字节的整数中表示为 00001010。但是这样子只能表示正数和零。怎么表示负数呢?于是有了符号位的概念。在 8 个字节的整数中,最高位为符号位,0 代表正数,1 代表负数。所以 -10 就可以用 10001010 来表示。但是,直接采用符号位会带来一系列问题:

  • 0000000010000000 表示为 0-0 ,那么用那个来表示 0,还是都是零?
  • 加法问题。

关于加法问题,试着运算 1 - 1 的值:

  1. 1 - 1 转换成 1 + (-1)
  2. 转换成二进制:00000001 + 10000001
  3. 运算结果为 10000010 转换成十进制为 -2

很明显,这个结果不对。为了解决这个问题,在计算机中引入补码(2's complement)来解决。要解释为什么要使用补码,还得从无符号整型开始说起。

为了便于理解和方便,我用 3 个字节的整数来讲解。但由于 C 语言最小都是 8 个字节,在代码验证方面使用 8 个字节。

无符号整型(unsigned integer)

3 个字节的无符号整型中,可以表示 2^3^ = 8 个数:

000 = 2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 0 = 0+0+0 = 0
001 = 2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1 = 0+0+1 = 1
010 = 2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 0 = 0+2+0 = 2
011 = 2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1 = 0+2+1 = 3
100 = 2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 0 = 4+0+0 = 4
101 = 2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1 = 4+0+1 = 5
110 = 2^2 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 0 = 4+2+0 = 6
111 = 2^2 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1 = 4+2+1 = 7

既然是整数,免不了要加减乘除。

在计算机中,只用加法可以完成的整数的四则运算:

  • 减法,就是加上一个负数。
  • 乘法,就是不断的做加法。
  • 除法,就是不断的做减法,而减法又可以转换成加法。

但是这样会出现问题:

  • 两个无符号整数相加,超出了 3 个字节表示的范围怎么办?比如:3 + 7
  • 两个无符号整数相减。转换成加上一个负数。既然是无符号整数,哪里来的负数?

要想解决这个问题,抬头看看墙上的钟吧。

时钟系统

假设现在是 4 点钟:

计算机如何表示整数_第1张图片

但实际上现在已经六点钟了,你现在要把指针调到 6 点去。你可以这么做:

  1. 顺时针调整 2 个小时:

    计算机如何表示整数_第2张图片

  2. 逆时针调整 10 个小时:

    计算机如何表示整数_第3张图片

  3. 顺时针调整 14 个小时,逆时针调整 22 个小时…

把上述过程用数学来表示:顺时针旋转几小时等于加上几个小时。逆时针则为减去几个小时。有:

4 + 2 = 6
4 - 10 = 6
4 + 14 = 6
4 - 22 = 6

时钟的一圈是 12 个小时。也就是说,在时钟系统中,向上溢出和向下溢出,都通过模 12 来解决问题

$$ 4 - 10 \equiv 4 + (-10) \equiv 4 + (-10 \bmod 12) \equiv 4 + 2 \equiv 6 \pmod{12} \\ $$

上面可以说成,4 与 -10 同余

负数怎么取余

整数取余我们都了解,一直把被余数减去余数直到小于 0 即可。同理,负数取余我们可以把被余数加上余数知道大于 0 即可。

根据上面思路,很快我们可以写出代码:

/**
 * number 被余数
 * mod 余数
 */
int min_mod(int number, int mod)
{
  if (number >= 0) {
    while (number - mod >= 0) {
      number = number - mod;
    }
    return number;
  }
  else {
    while (number + mod < 0) {
      number = number + mod;
    }
    return number + mod;
  }
}

上面虽然好理解,但是代码执行效率不高,时间复杂度为 O(n)

我们将余数(remainder)加入除法中,有:

$$ \frac{divident}{divisor} = quotient \dots remainder $$

转换一下:

$$ divident = quotient \times divisor + remainder \qquad 1 $$

交换一下顺序,可以得出余数为:

$$ remainder = divident - quotient \times divisor \qquad 2 $$

其中商(quotient)是被除数(divident)与除数(divisor)相除向下取整(floor)的结果:

$$ quotient = \lfloor \frac{divident}{divisor} \rfloor $$

注:$\lfloor \rfloor$ 为向下取整的符号。如,$\lfloor 3.5 \rfloor = 3$,$\lfloor -1.3 \rfloor = 2$。

15/12 等于 1.25 向下取整就成了 1-10/12 等于 0.833.. 向下取整为 -1。向下取整可以理解为取一个更靠近负无穷的整数。

插一句,C/C++/Java 中,负数除法都是向上取整。也就是 -10/12 等于 0。python 中,负数除法为向下取整。

结合 1 式和 2 式,可以得出:

$$ remainder = divident - divisor \times \lfloor \frac{divident}{divisor} \rfloor $$

现在将上述代码可以优化成一句代码:

int one_step_mod(int number, int mod)
{
  return number - (mod * (int)floor(number * 1.0 / mod));
}
别忘记加上 math.h 头文件。

另外,试着想想 * 1.0 起什么作用?不加行不行?

借助时钟的实现解决无符号整型问题

理解了时钟的运转,我们再来看看无符号的两个问题:

  • 两个无符号整数相加,超出了 3 个字节表示的范围怎么办?比如:2 + 7
  • 两个无符号整数相减。转换成加上一个负数。既然是无符号整数,哪里来的负数?

如果把 3 个字节的无符号整数看成时钟的话,它长这样:

计算机如何表示整数_第4张图片

那么无符号整数也同样可以通过同余运算解决上述问题:

相加超过范围而导致上溢出

两个无符号整数相加,如果超出范围,直接模 2^n^ 即可:

$$ 2 + 7 \equiv 9 \bmod 8 \equiv 1 \pmod 8 $$

体现在钟表上,就是将指针顺时针旋转 7 个小时。

加上一个负数

整数相减,相当于加上一个负数。先将负数转换成 2^n^ 下的最小整数,在进行加法运算:

$$ 2 - 7 \equiv 2 + (-7 \bmod 8) \equiv 2 + 1 \equiv 3 \pmod 8 $$

体现在钟表上,就是将指针逆时针旋转 7 个小时。

总结

计算机用同余运算解决上溢出与负数 。无符号整型的加法运算实际上等价于模 2^n^ 的加法运算。

代码验证

talk is cheap, show me your code.

讲了这么多,再通过代码来验证这一过程:

需要注意的是,C 语言中,最小的数据类型为 8 个字节,与上述的 3 个字节有小许差异。

int main()
{
    uint8_t two = 2;
    uint8_t last = 255;
    printf("%d \n", two);  // 2
    printf("%d \n", last); // 255
    uint8_t temp = two + last; // 顺时针旋转
    printf("%d \n", temp); // 1
    temp = two - last; // 逆时针旋转
    printf("%d \n", temp); // 3
    temp = -2;
    printf("%d \n", temp); // 254
    return 0;
}
别忘了引入 stdint.h 头文件。

学完了无符号整数,看看下面这道题你能否给出正确答案:

int main()
{
    uint8_t a = -128;
    uint8_t b = a / -1;
    printf("%d", b); // what is it?
    return 0;
}

有符号整型(signed integer)

如果仅仅使用符号位来表示 3 个字节的有符号整数,可以表示 2^3^ -1 = 7 个数:

000 = (2^1 * 0 + 2^0 * 0) *  1 =   0+0  =  0
001 = (2^1 * 0 + 2^0 * 1) *  1 =   0+1  =  1
010 = (2^1 * 1 + 2^0 * 0) *  1 =   2+0  =  2
011 = (2^1 * 1 + 2^0 * 1) *  1 =   2+1  =  3
100 = (2^1 * 0 + 2^0 * 0) * -1 = -(0+0) =  0
101 = (2^1 * 0 + 2^0 * 1) * -1 = -(0+1) = -1
110 = (2^1 * 1 + 2^0 * 0) * -1 = -(2+0) = -2
111 = (2^1 * 1 + 2^0 * 1) * -1 = -(2+1) = -3

前面说过,如果仅仅使用符号位来表示有符号整型,会有以下问题:

  • 0 的表示。
  • 加法无法算出结果。

仔细观察,你会发现它仅仅可以表示负数,其他什么都干不了:四则运算(也就是加法)会出错,两个 0 的问题。

糟糕的表示方法

要想知道它是如何引入这个问题的,将这个糟糕的表示方法转换成时钟,可能你就明白了:

计算机如何表示整数_第5张图片

从上图中,我们可以发现,它并不遵循同余运算。仔细观察 101 也就是 -1 这个地方,在无符号整型中,它表示 5。在有符号整型中,由于最高位被符号位的占据,最大的正数为 011 也就是 3。所以 101 只能表示为负数。为了保证同余运算,只要找到另一个数与 5 关于 8 同余即可。

5 关于 8 同余的数有很多:13, 21, -3...。这个数还要满足一个条件:最大的负数。所以为:5 - 8 = -3

补码的引入

通过这种方式,将上面糟糕的时钟改成遵循同余运算的表示方法:

计算机如何表示整数_第6张图片

你可能已经发现了,这套标准就是我们常说的补码。

因为遵循同余定理,补码系统已经不存在那两个问题了:

  • 补码系统中只有一个 0,不存在歧义。
  • 1-1 => 1 + (-1) => 001 + 111 => 000 => 0,加法运算也没有问题。

所以为什么要有补码?因为要保证同余运算。而同余运算,就是整数运算的核心原理。

补码的表示

根据上面的图,很好表示补码:

  • 正数和零,没有变化,不用修改。
  • 而负数,比如 -1,就是逆时针转动一个小时,根据同余定理,逆时针转动一个小时就代表顺时针转动7个小时:

$$ -1 \equiv 7 \pmod 8 $$

也就是说,当符号位为 1,比如 111,在正整数(7)的基础上逆时针旋转 8 个小时就是补码:

补码
----
000 = (2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 0)     = 0+0 =  0
001 = (2^2 * 0 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1)     = 0+1 =  1
010 = (2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 0)     = 2+0 =  2
011 = (2^2 * 0 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1)     = 2+1 =  3
100 = (2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 0) - 8 = 4-8 = -4
101 = (2^2 * 1 + 2^1 * 0 + 2^0 * 1) - 8 = 5-8 = -3
110 = (2^2 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 0) - 8 = 6-8 = -2
111 = (2^2 * 1 + 2^1 * 1 + 2^0 * 1) - 8 = 7-8 = -1

公式表示为:

$$ f(补) = \begin{cases} x & 符号位 = 0\\ x-8 & 符号位 = 1 \end{cases} $$

其中, x = 4a + 2b + c。

如果用程序来表示:

int main()
{
    int n;
    puts("Please input a number, represent a few bytes: ");
    scanf("%d", &n);
    int count = 1 << n;

    for (int i = 0; i < count; i++) {
        if (i >= (1 << n - 1)) { // 如果这个数的符号位为 1
            printf("%d ", i - count);
        }
        else printf("%d ", i);
    }
    return 0;
}

反码(1's complement)的误区

在上面讲解补码的过程中,并没有提到反码。那为什么有些文章说到补码时,要提到反码?而且我们常说的反码加上一等于补码又是怎么来的,反码真的可以解决原码相加的问题吗?

先来看看反码的定义:

正数的反码等于其原码,而负数的反码则可以通过保留其 符号位,将原码的 数值位取反得到。

在 3 个字节的有符号整数中,有:

原码  反码
---------
000 = 000 =  0
001 = 001 =  1
010 = 010 =  2
011 = 011 =  3
100 = 111 = -0
101 = 110 = -1
110 = 101 = -2
111 = 100 = -3

你会发现,它怎么和仅仅引入符号位的有符号整数那么眼熟。那反码解决了那两个问题了吗?

很显然的是,反码中也有两个零。

那么加法呢?人们最喜欢举的例子为:

$$ 1 - 1 = 1 + (-1) = 001_{正} + 101_{正} = 001_{反} + 110_{反} = 111_{反} = -0 = 0 $$

上面的式子可以运算出正确结果。所以在有些文章中就认为反码解决了原码的相加问题。

真的是这样的吗?再来看看一个例子:

$$ -1 + (-2) = 101_{正} + 110_{正} = 110_{反} + 101_{反} = 011_{反} = 3 $$

问题出现了,加法运算也不成立。

可见,网络上的文章不太靠谱。看文章,抱着怀疑的态度还是很有必要的。

也就是说,反码和原码一样,并不适合作为有符号整数的表示方法。这也是很多人的误区,认为反码与补码有关系。其实一点关系也没有,虽然是反码加上一等于补码。

那反码加上一等于补码,这又是怎么来的呢?

这是一条结论。

反码加上一等于补码

在 3 个字节中,原码使用 abc~2~ 来表示:

$$ f(原) = \begin{cases} 2^{1} \times b + 2^{0} \times c \\ (2^{1} \times b + 2^{0} \times c) \times (-1) \end{cases} = \begin{cases} 2b + c & a = 0\\ - (2b +c) & a = 1 \end{cases} $$

原码转换成反码,负数的符号位不变,其他位取反:

$$ f(反) = \begin{cases} 2^{2} \times a + 2^{1} \times b + 2^{0} \times c \\ 2^{2} \times a + 2^{1} \times (1 - b) + 2^{0} \times (1 - c) \end{cases} = \begin{cases} 2b + c & a = 0\\ -(2b +c) + 7 & a = 1 \end{cases} $$

原码转换成补码。正数不变。负数,比如 -3 就是 0 - 3,现在可以用正数表示 3,而又根据同余定理 0 - 3 等于 8 - 3,所以原码转补码的负数表示方法为:8 - 正数

$$ f(补) = \begin{cases} f(原) \\ f(原) + 8 \end{cases} = \begin{cases} 2b + c & a = 0\\ 8 - (2b + c) & a = 1 \end{cases} $$

当符号位为 0,也就是正数的时候,两者相等。符合正数时,原反补码相同。

当符号位为 1 ,也就是负数。因为要保证符号位为 1,所以符号位并不参与计算,所以反码和补码的计算就转换成了 2 个字节的无符号加法运算。既然是加法运算,同样遵循同余运算,这里时关于 4 同余。

$$ f(反) + 1 = -(2b + c) + 8 = -(2b + c) \pmod 4 \qquad 3 $$

$$ f(补) = 8 - (2b + c) = -(2b + c) \pmod 4 \qquad 4 $$

结合 3 式与 4 式,有:

$$ f(反) + 1 = f(补) $$

所以,反码加上一等于补码是这么来的。它并不能作为结论证明反码和补码有任何关系,只是可以通过这种方法,在原码的基础上快速的得出补码而已。

代码验证

int main()
{
    int8_t two = 2;
    int8_t last = 127;
    printf("%d \n", two);      // 2
    printf("%d \n", last);     // 127
    int8_t temp = two + last; // 顺时针旋转
    printf("%d \n", temp);     // -127
    temp = two - last;         // 逆时针旋转
    printf("%d \n", temp);     // -125
    return 0;
}

上面的思考题换成有符号整数,还是那个结果吗?

int main()
{
    int8_t a = -128;
    int8_t b = a / -1;
    printf("%d", b); // what is it?
    return 0;
}

参考资料

https://zh.wikipedia.org/wiki...

https://www.cnblogs.com/zhang...

https://zh.wikipedia.org/wiki...

https://zh.wikipedia.org/wiki...

https://blog.csdn.net/woodpec...

http://www.ruanyifeng.com/blo...

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