概率中的贝叶斯定理

贝叶斯定理在学概率论的时候学过,不过学完这么久很多人自然就忘了,我也不例外,也忘了。因为我知道今天的课程和贝叶斯定理有关,所以昨天我自己就百度了一下,还好,不是很难理解,又捡回来了。

下面我尝试用我理解的方法简单说说这个定理背后的含义,以及应用它来解答一下书中那个得病率从95%到2%的来龙去脉。

1、图解贝叶斯定理

记得在我读书的时候,我特别喜欢用图来理解抽象的概率,就是下面这种图。图中有两个相交的圆(还可以有第三个),外面有个矩形围住。现在想像一下我把这图挂上墙,然后随机地朝它扔飞标,假设飞标只能落在矩形内部,落点是随机的。

概率中的贝叶斯定理_第1张图片

下面定义一下事件A、B、AB、A│B、B│A。

A事件:飞标落在左边的圆内(包括相交部分);

B事件:飞标落在右边的圆内(包括相交部分);

AB事件:A事件发生且B事件发生(飞标落在两圆相交的区域内);

A│B事件:B事件发生的条件下A发生;

B│A事件:A事件发生的条件下B发生;

在这些事件的外面加上P()表示事件发生的概率,如P(A)、P(AB)、P(A│B)。由于矩形内部是所有可能发生事件的全部,概率就可以用面积比来表示,比如P(A)=左边圆面积/矩形面积。不妨让矩形的面积等于1,于是各事件的概率就都可以直接用面积来表示了。

P(A)=左边圆的面积,P(B)=右边圆的面积,P(AB)=两圆相交区域面积,以上三个概率都不理解。

下面贝叶斯定理的主角条件概率要出现了,P(A│B)为B发生的前提下A发生的概率,称为条件概率(中间有一竖,右边是条件)。既然B作为条件,那么B必须要发生,否则前提都不存在,就没有讨论的意义,所以右边的圆现在可以作为事件的全部了,A│B这个事件发生的概率就可以用“两圆相交区域面积/右边圆的面积”来表示了。于是有

P(A│B)=两圆相交区域面积/右边圆的面积=P(AB)/P(B),因为上面说了概率可以用面积来表示。同样的道理,那可以得到P(B│A)=P(AB)/P(A)。

于是P(AB)=P(B)×P(A│B)=P(A)×P(B│A),这个关系式可以直接理解:两个事件同时发生的概率等同于将其中一个事件作为条件的情况下,条件事件发生的概率乘以条件事件发生前提下另一事件发生的概率。

贝叶斯定理,就是上面这条连续两个等号的式子的变形:

2、应用案例

还是用回蔡叔的例子:如果患上一种严重疾病的概率是1/1000,也就是1000个人里有一个会得这种病,而检测这种病的仪器的出错率是5%,也就是95%是准确的,某公司组织1000名员工去检测,其中第一个员工就显示呈阳性,请问他的得病概率是多大?我们都知道答案是2%,这是如何用贝叶斯定理得出来的呢?

解答如下:

A事件:得病,P(A)=1/1000;

B事件:检测出有病,P(B)=1/1000×95%+999/1000*5%=5.09%(检测出有病包括真有病检测准确和没有病检测出错两种情况,由于得病概率很小,所以基本上等于仪器出错概率,蔡叔也是直接用5%);

事件B│A(得病前提下检测出有病)的概率P(B│A)=95%,其实就是仪器正确的概率。

求事件A│B的(检测出有病前提下确实得病)概率P(A│B)。

用贝叶斯定理表达式

P(A│B)= P(A)×P(B│A)/P(B) =1/1000×95%/5.09%=1.87%,对,就是约等于你我都知道的2%。


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