高等数学:一元函数积分学

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定义:

不定积分定义:

定积分定义:

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注意区别:不定积分是一族函数,他又很多个函数,但是定积分呢?它就只有一个函数,并且它所代表的集合意义就是一个曲边梯形的面积。

另外千万搞清楚,不定积分是函数,而定积分是一个确定的数,因为梯形的面积一定是确定的嘛 

定积分和不定积分的联系:牛顿莱布尼兹公式:

积分的计算:

四大基本积分法:

1.凑微分法

基本积分公式:

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积分的计算技巧:

当遇见复杂的式子计算积分,那么我们可以这样,先对复杂部分的式子求导,然后再凑微分。

2.换元法:

当凑微分法不成功时,考虑换元法。所以我们一般先考虑凑微分,然后是换元法。

记住一点:换元千万别忘了回带。

第一种:三角换元

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第二种:倒代换 

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第三种:复杂部分代换

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3.分部积分法:

分部积分法一般是两个不同类型的函数相乘而来的式子,这个时候我们一般用分部积分法。

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我们在选取那个当v和那个当u,总结了下面这个式子。

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相对而言,更易求导的做u,更易积分的做v。

推广式子:

当我们碰见有些题目的时候,往往一次分部积分法是搞不定的,这个时候要多次分部积分,还是比较麻烦和繁琐的,所以就使用下面这种通式的形式,一步到位。

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如何使用表格发来记忆呢? 我们可以像下面这样。

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他一共有下面四个步骤:

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实际上我们在解题的时候会有这样的疑问:使用表格法,我们应该求导或者积分到哪一项为止呢?我们对于上面的三种情况有三种结论。

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有理函数积分法:

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定积分的计算:

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这里有个注意点,当我们在使用换元法求定积分的时候,我们要换三个地方,一个是上下限要换,二是被积函数要换,积分元素要换。

另外,换元之后,其自变量的范围始终不能超过原来自变量的范围!这一点很重要,一定要切记。

点火公式:

对于这种式子类型的定积分计算,我们可以使用点火公式:

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就是上面这种式子的时候,我们可以直接使用下面这个结论。 当然,上面的这个式子中的sin也可以是cos,他们都可以用点火公式。

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需要我们记住的一个定理:

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下面这个是华里士公式的另外一个式子:

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一元函数积分学的应用:

数一的范围:知道怎么求空间曲面体的体积、面积、以及能够写出这个曲面体的函数

第一种:求曲边梯形的面积。

这种一般是套用公式,杂糅进来了前面微分和极限的知识一起考查。

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第二种:用积分表达式计算旋转体的体积。

绕着x轴旋转的:

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绕着y轴旋转的:

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第三种:用积分表达和计算函数的平均值:

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