Python机器学习(四):PCA 主成分分析

Jacob的 Python机器学习系列:
Python机器学习(一):kNN算法
Python机器学习(二):线性回归算法
Python机器学习(三):梯度下降法
Python机器学习(四):PCA 主成分分析
Python机器学习(五):SVM 支撑向量机

主成分分析法是一个非监督的机器学习算法,主要用于数据的降维。通过降维,可以发现更便于人类理解的特征。


Python机器学习(四):PCA 主成分分析_第1张图片
使数据映射到另一个轴上

求解目标

主成分分析的步骤:

  1. 对样本进行demean处理(使所有样本的均值为0)
  2. 取一个轴的方向 w = (w1,w2...,wn),使我们的样本,映射到w之后,使下式最大


    均方差

由于均值为0,则只需要使下式最大

Python机器学习(四):PCA 主成分分析_第2张图片
等价

映射的过程可以如下示意

Python机器学习(四):PCA 主成分分析_第3张图片
映射过程

w为单位向量,则有

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向量点乘

则最终目标为求取一个w,使得下式最大

Python机器学习(四):PCA 主成分分析_第5张图片
目标函数

上式中为向量相乘,假设数据有n个维度,展开来是这个样子


Python机器学习(四):PCA 主成分分析_第6张图片
展开以便理解

那么,这就变成了一个目标函数的最优化问题,可以使用梯度上升法解决

这个过程看起来跟线性回归很像,其实是不同的,需要注意


Python机器学习(四):PCA 主成分分析_第7张图片
想想其中的区别

梯度上升

梯度上升的过程与梯度下降是类似地,需要先求导

Python机器学习(四):PCA 主成分分析_第8张图片
沿着各个轴求导

像前面一样,可以化为矩阵运算的形式。设X为这样的矩阵

Python机器学习(四):PCA 主成分分析_第9张图片
构造矩阵X

则求导可以写成这样的形式。这里就不推导了

Python机器学习(四):PCA 主成分分析_第10张图片
矩阵运算

整理一下就是这个样子

Python机器学习(四):PCA 主成分分析_第11张图片
最终结果

求取n个主成分

上面的操作中求取w的是第一个主成分,称为第一主成分。如果要求取第二主成分,则需要将数据在第一个主成分上的分量去掉,得到的数据再求取主成分,就得到了第二主成分。

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绿色的向量就是第二主成分的数据

比如说有这么一个数据集

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使用numpy生成一个数据集

找到第一主成分的方向w1。将数据在第一主成分上的分量去掉,得到的数据如下。再求取一次主成分,就得到了第二主成分的方向。


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第二个主成分的数据

假设我们找到了k个主成分的方向,如果想将数据从n维映射到k维(n>k),则可以如下进行。令Wk为计算出的k个主成分的方向。


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图没弄好

则可以进行矩阵运算进行降维。X有m个样本n个方向,映射后有m个样本k个方向


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想象一下

同样,可以将映射到低维的数据重映射到高维,但是会损失一些信息,结果跟原来是不一样的

Python机器学习(四):PCA 主成分分析_第17张图片
重映射

编程实现

"""
Created by 杨帮杰 on 11/4/2018
Right to use this code in any way you want without
warranty, support or any guarantee of it working
E-mail: yangbangjie1998@qq.com
Association: SCAU 华南农业大学
"""
import numpy as np

class PCA:

    def __init__(self, n_components):
        """初始化PCA"""
        assert n_components >= 1, "n_components must be valid"
        self.n_components = n_components
        self.components_ = None

    def fit(self, X, eta=0.01, n_iters=1e4):
        """获得数据集的前n个主成分"""
        assert self.n_components <= X.shape[1], \
            "n_components must not be greater than the feature number of X"

        def demean(X):
            return X - np.mean(X, axis=0)

        def f(w, X):
            return np.sum((X.dot(w) ** 2)) / len(X)

        def direction(w):
            return w / np.linalg.norm(w)

        def first_components(X, initial_w, eta=0.01, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):
            w = direction(initial_w)
            cur_iter = 0

            while cur_iter < n_iters:
                gradient = df(w, X)
                last_w = w
                w = w + eta*gradient
                w = direction(w)
                if(abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon):
                    break
                cur_iter += 1

            return w

        X_pca = demean(X)
        self.components_ = np.empty(shape=(self.n_components, X.shape[1]))
        for i in range(self.n_components):
            initial_w = np.random.random(X_pca.shape[1])
            w = first_components(X_pca, initial_w, eta, n_iters)
            self.components_[i,:] = w
            X_pca = X_pca - X_pca.dot(w).reshape(-1,1) * w

        return self

    def transform(self, X):
        """将给定的X,映射到各个主成分分量中"""
        assert X.shape[1] == self.components_.shape[1]

        return X.dot(self.components_.T)

    def inverse_transform(self, X):
        """将给定的X,反向映射回原来的特征空间"""
        assert X.shape[1] == self.components_.shape[0]

        return X.dot(self.components_)

    def __repr__(self):
        return "PCA(n_components = %d" % self.n_components

References:
Python3 入门机器学习 经典算法与应用 —— liuyubobobo
机器学习实战 —— Peter Harrington

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