二阶常系数齐次线性微分方程通解的求取

(光看一遍书很快就又忘了,在此记录一下)
y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y''+py'+qy=0 y+py+qy=0

第一步:写出微分方程的特征方程
r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0

第二步:求出特征方程的两个根 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2

第三步:根据特征方程的两个根的不同情形,按照下列表格写出微分方程的通解:

特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的两个根 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2 微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y''+py'+qy=0 y+py+qy=0的通解
两个不相等的实根 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2 y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1 x}+C_2e^{r_2x} y=C1er1x+C2er2x
两个相等的实根 r 1 = r 2 r_1=r_2 r1=r2 y = ( C 1 + C 2 x ) r r 1 x y=(C_1+C_2x)r^{r_1x} y=(C1+C2x)rr1x
一对共轭复根 r 1 , 2 = α ± β r_{1,2}=\alpha\pm\beta r1,2=α±β y = e α x ( C 1 c o s   β x + C 2 s i n   β x ) y=e^{\alpha x}(C_1cos\,\beta x+C_2sin\,\beta x) y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

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