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常用数学思想方法

发表于: 2009-04-19   作者:comsci   来源:转载   浏览:
摘要:   对于搞工程和技术的朋友来讲,在工作中常常遇到一些实际问题,而采用常规的思维方式无法很好的解决这些问题,那么这个时候我们就需要用数学语言和数学工具,而使用数学工具的前提却是用数学思想的方法来描述问题。。下面转帖几种常用的数学思想方法,仅供学习和参考   函数思想   把某一数学问题用函数表示出来,并且利用函数探究这个问题的一般规律。这是最基本、最常用的数学方法

  对于搞工程和技术的朋友来讲,在工作中常常遇到一些实际问题,而采用常规的思维方式无法很好的解决这些问题,那么这个时候我们就需要用数学语言和数学工具,而使用数学工具的前提却是用数学思想的方法来描述问题。。下面转帖几种常用的数学思想方法,仅供学习和参考



  函数思想
  把某一数学问题用函数表示出来,并且利用函数探究这个问题的一般规律。这是最基本、最常用的数学方法。

  数形结合思想
  “数无形,少直观,形无数,难入微”,利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易,化繁为简。把代数和几何相结合,例如对几何问题用代数方法解答,对代数问题
用几何方法解答,这种方法在解析几何里最常用。例如求根号((a-1)^2+(b-1)^2)+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值,就可以把它放在坐标系中
,把它转化成一个点到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四点的距离,就可以求出它的最小值。

  分类讨论思想
  当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时,需要对这个量的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候,就要讨论a的取值情况。

  方程思想
  当一个问题可能与某个方程建立关联时,可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候,就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

  整体思想
  从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联
,进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用,整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元
、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

(整体思想和系统论密切相关,请参看我的博文,钱学森系统方法论)

  转化思想
  在于将未知的,陌生的,复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的,熟悉的,简单的问题。三角函数,几何变换,因式分解,解析几何,微积分,乃至古代数学的尺规作等数
学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有:一般 特殊转化,等价转化,复杂 简单转化,数形转化,构造转化,联想转化,类比转化等。

  隐含条件思想
  没有明文表述出来,但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件,或者是没有明文表述,但是该条件是一个常规或者真理。

  类比思想
  把两个(或两类)不同的数学对象进行比较,如果发现它们在某些方面有相同或类似之处,那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

  建模思想
  为了描述一个实际现象更具科学性,逻辑性,客观性和可重复性,人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象,这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就
称为数学模型。有时候我们需要做一些实验,但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验,实验本身也是实际操作的一种理论替代。

  化归思想
  化归思想就是化未知为已知,化繁为简,化难为易.如将分式方程化为整式方程,将代数问题化为几何问题,将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有:待定系数法,配方法,整体代人法以及化动为静,由抽象到具体等转化思想

  归纳推理思想
  由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理

  概率统计思想
  另外,还有概率统计思想等数学思想,例如概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题,如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。另外,还可以用概率方法解决一些面积问题。

常用数学思想方法

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